Chapter4——矩阵特征值与特征向量和相似对角化

1. 特征值与特征向量

定义:

注意:只有方阵具有特征值与特征向量,不同特征值所对应的特征向量之间线性无关

如何理解特征值与特征向量?(重要)

形象的例子:如果把矩阵看作运动的话,那么

  • 特征值就是运动的速度
  • 特征向量是运动的方向

对于方阵而言,矩阵不会在维度上进行伸缩,所以矩阵的运动实际上只有两种:旋转和拉伸,最后运动的结果(矩阵的运动表现在乘以任意一个向量,列向量的方向和长度是矩阵运动的表现形式)就是这两种的合成。接下来讨论这两种具体的运动方式在矩阵的运算如何体现:

  • 旋转与拉伸:通过矩阵相似对角化分解,可以得到:
    A = PBP^{-1}其中B为对角阵,P的列向量是单位化的特征向量,并且互相正交
    对角阵B决定了各个方向的拉伸大小,而P决定了旋转变化
  • 特征值指明了拉伸大小;
  • 特征向量指明了拉伸的方向。(特征向量都是一组组标准正交基

几何意义:

特征多项式:用于求特征值

特征向量的求解:

方阵的迹与行列式:

2. 相似矩阵

矩阵相似关系的定义:

相似矩阵的性质:拥有相同的特征多项式和特征值

3. 矩阵对角化

可对角化定义:矩阵可相似于一个对角阵

矩阵可对角化充要条件:1. n阶矩阵有n个线性无关的特征向量

矩阵P为特征列向量组,对角阵的迹为n个特征值。

推论:若n阶矩阵A具有n个不同的特征值,则A可相似对角化。

矩阵可对角化充要条件:2. n阶矩阵每个拥有ni个线性无关的特征向量,其中ni是第i个特征值的重数

矩阵相似对角化的重要应用:求矩阵的幂

幂等式:A可相似对角化,设A=P \Lambda P^{-1},则
A^{n}=(P\Lambda P^{-1})^{n}=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots (P\Lambda P^{-1})=P\Lambda^{n} P^{-1}上式可根据矩阵乘法的交换律,让PP^{-1}相乘。

例题

4. 实对称矩阵的对角化

共轭矩阵:

易知:实矩阵等于他的共轭$

实对称矩阵的特征值和特征向量:对称矩阵A=A^{T}

实对称矩阵的对角化:

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