[线性回归] 梯度下降

在有了预测函数和测量它与数据匹配度的方法之后,我们需要评估预测函数中的参数。所以就有了梯度下降算法。
想象我们用预测函数产生的θ0和θ1来画预测函数(事实上,我们用参数评估函数来描绘代价函数)。我们并不是在描绘x和y本身,而是预测函数的参数范围和已选择的特定参数集的代价值。(其实就是用一组参数(θ0, θ1)作为x和y,代价评估值作为z。)
图中的点使用该组θ参数得到的代价函数的值。

我们要求解的最小代价值,其实就是图中的最低点(深蓝色), 当然包括局部最低点和全局最低点。(就是一小范围内的最低点和所有最低点中的最低点)。
这么做的方法就是对代价函数求导(取函数正切值)。正切值的斜率就是该点的导数,这也是在图中移动的方向。(把图想象成一座山峰,寻找最低点就是在寻找下山的路)每次都朝着最陡峭的方向移动,每步的大小取决于参数α,叫做学习速率
举例而言,图中每个星星的距离代表着每一个由α决定大小的步子。α越小,每个星星之间的距离越小;α越大,每个星星之间的距离越大。而这个步子的方向则取决于J(θ0,θ1)的偏导。每个下山路径都会的由于起点不同而导致有不同的终点。如上图就有两个终止于不同地方的两个不同的起点。

梯度下降算法

  repeat until convergence:
       公式
  where
      j=0,1 represents the feature index number.

公式: ** θj:=θj−α(∂/∂θj)J(θ01) **

'j'的每次迭代,都需要同步更新(θ0,θ1,...θn)参数。在计算前更新某个θ参数会导致产生错误算法。


同步更新 θ 参数集

单参数梯度下降

公式: ** θ1:=θ1−α(d/dθ1)J(θ1) **

不管(d/dθ1)J(θ1) 的符号是正是负。如下图所示,当斜率为负时,θ1的值增加;当斜率为正的时候,θ1的值减少。

梯度下降算法应该在合适的时候收敛,无法收敛或者收敛时间过长都意味着步幅是错误的(α错误)

Paste_Image.png

α的值是固定的,梯度下降是如何收敛的?
事实上,当我们接近凸函数的底部的时候,d/d接近0的时候。在最小值的时候,导数为0。所以:** θ1:=θ1−α∗0**

线性回归的梯度下降

在线性回归中,梯度下降会有一个新的形式。把实际的代价函数和预测函数替换修改,就会得到下述等式。

m 是训练集的大小,θ0是同步改变的常量, X1,X2是训练集的数据。
因为h(θ)=θ01Xj,所以对J(θ01)= Σ(hθ(xi)-yi)偏导, 得到上述两条公式。
举例说明θ1:

这样做的意义是从一个猜测开始,重复地应用梯度下降等式,我们的预测函数(Hypothesis)会变得越来越准确。所以这就是基于最初的代价函数J的简单梯度下降函数。
这个方法在每一步都会遍历整个训练集,所以叫做“批”梯度下降算法。
注意,**梯度下降总体上容易受到局部最小值的影响,但是我们这里的线性回归只有一个全局,没有其它的局部,所以这个最小值就是最优解。因此梯度下降对于全局最小值来说总是收敛的(假设学习速率α没有太大)。


梯度下降最小化二元方程

椭圆显示的二次方程的轮廓图。轨迹是梯度下降的步骤。它初始化在(48,30)。

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 151,511评论 1 330
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 64,495评论 1 273
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 101,595评论 0 225
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 42,558评论 0 190
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 50,715评论 3 270
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 39,672评论 1 192
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,112评论 2 291
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 29,837评论 0 181
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,417评论 0 228
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 29,928评论 2 232
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,316评论 1 242
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 27,773评论 2 234
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,253评论 3 220
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,827评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,440评论 0 180
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 34,523评论 2 249
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 34,583评论 2 249

推荐阅读更多精彩内容