RSA加密

RSA加密是非对称加密,由瑞弗斯特(Ron Rivest),沙米尔(Adi Shamir)和阿德来门(Len Adleeman)1978年提出的,它的基础是欧拉定理,安全性依赖于大数因子分解的困难性。整个RSA加密运算,要了解一点数论的基础。下面在讲解的时候,需要用到的数学知识,我都会在一旁做简单标注。此文主要包括:

  • RSA 加密算法
  • RSA 加解密举例
  • RSA 加密的安全性
  • RSA 加密算法的正确性证明

RSA加密算法

取两个大素数 pq (p ≠ q),记 n = pqϕ(n) = (p-1)(q-1)。选择正整数
wwϕ(n) 互素,设 dw 的模 ϕ(n) 逆,即 dw ≡ 1(mod ϕ(n))
RSA密码算法如下:首先将明文数字化,后把明文分成若干段,每一个明文段的值小于 n,对每一个明文段 m
加密算法 c = E(m) = m^w mod n
解密算法 D(c) = c^d mod n
其中加密密钥 wn 是公开的 p q ϕ(n)d 是保密的。

  • 素数:只能被±1±自己整除的数,比如2, 3, 5, 7, 11...
  • 两数互素:除±1之外,没有其他的公因子,比如2 ~ 3,7 ~ 11...
  • ϕ(n):这个是欧拉函数,是指小于 n 且与 n 互素的正整数的个数,习惯上 ϕ(1) = 1。算法中用到的 ϕ(n) = (p-1)(q-1)pq 为素数,是欧拉函数的一个特殊情况。特殊情况还有 n 为素数时,ϕ(n) = n - 1
  • n同余:形如a ≡ b(mod n) 这样的算式称为a bn 同余,即 a % n = b % n
  • 模逆:如果 ab ≡ 1(mod m),即 ab % m = 1 ,则称 ba 的模 m 逆;由定义可知,a 的模 m 逆就是方程 ax ≡ 1(mod m) 的解,其中形如 ax ≡ c(mod m) 的方程称一次同余方程。

RSA加解密举例

A B 两人通信,A要传递信息给 B,这时 B 公布出来加密的公钥,A 以此将信息加密,B收到密文以后用私钥解密,比如:
公钥w = 13, n = 2537
私钥p = 43, q = 59, ϕ(n) = 2436, d = 937(根据 w 和 ϕ(n) 求出)
A 要传递的明文信息数字化之后为:m = 2106,用公钥加密为密文:c = 2106^13 % 2537 = 2321
B 收到密文 c = 2321 后,用私钥解密为明文:m = 2321^937 % 2537 = 2106

上面加解密都要涉及到模幂乘运算形如:a^b(mod n)。这儿可以利用模运算的一个性质:(a*b) % n = [(a % n) * (b % n)] % n
比如2106^13 % 2537 = [(2106 % 2537)(2106^4 % 2537)(2106^8 % 2537)] % 2537 = [(-431) * (-988) * (-601) % 2537] = 2321
求解过程可以使用递归求解的方式,2106^2 % 2537 可以根据 2106 % 2537 来求,2106^4 % 2537 可以根据 2106^2 % 2537 来求。比如 2106^4 % 2537 = [(2106^2 % 2537)(2106^2 % 2537)] % 2537 = (560 * 560) % 2537 = -988

RSA加密的安全性

开头提到,RSA加密的安全性依赖于大数因子分解的困难性。因为 n 是公钥公布出来的,如上例中 n = 2537 很容易就可以因为分解,求得 p = 43 q = 59,继而求出 ϕ(n) = 2436, d = 937,这样就攻破了。但是在实际中,n 选的值一般为 1024位 的二进制整数,这么大的一个整数因式分解以目前的技术水平是不可能因式分解的,对加密要求更高的行为,n 则选为2048位的二进制整数。

RSA加密算法的正确性证明

正确性证明需要用到费马小定理欧拉定理,表述如下

  • 费马小定理:若 a p 互素,则 a^(p-1) ≡ 1(mod p)。另一种表示形式 a^p ≡ a(mod p),这种形式则不要求 a p 互素。
  • 欧拉定理:若 a n 互素,则 a^ϕ(n) ≡ 1(mod n)。另一种表示形式 a^ϕ(n) ≡ a(mod n),这种形式则不要求 a n 互素。

因为m < n,故解密算法 D(c) = c^d mod n ⇔ c^d ≡ m(mod n),又因为加密算法 c = m^w mod n,故 c^d ≡ m(mod n) ⇔ m^dw ≡ m(mod n)。又因为 dw ≡ 1(mod ϕ(n)),所以存在整数 k 使得 dw = kϕ(n) + 1。最终转换为证明:m^(kϕ(n) + 1) ≡ m(mod n),其中k为整数。关于此证明可以分两种情况讨论:

mn 互素

由欧拉定理 m^ϕ(n) ≡ 1(mod n) ⇒ m^kϕ(n) ≡ 1(mod n) ⇒ m^(kϕ(n) + 1) ≡ m(mod n) 命题得证

mn 不互素

由于 m < nn = pqpq 是素数且 p ≠ q,故 m 必含 pq 中的一个为因子,且只含其中的一个为因子。设 m = cp,由费马小定理 m^(q - 1) ≡ 1(mod q) ⇒ m^kϕ(n) ≡ m^(k(p-1)(q-1)) ≡ 1^k(p-1) ≡ 1(mod q),从而存在整数 h 使得 m^kϕ(n) = hq + 1,两边同乘于 m 得,m^(kϕ(n) + 1) = mhq + m = cphq + m = hcn + m ⇒ m^(kϕ(n) + 1) ≡ m(mod n) 命题得证

总结

RSA加密,整个过程的计算量是很大的,只有特别敏感的信息才使用RSA加密。此文牵扯很多的数论的知识,也没有讲解的很详细,只是用到的地方,直接给出了结论,其他一些,比如欧拉函数的通用公式,一次同余方程求解方法,费马小定理和欧拉定理的证明过程,计算模幂乘运算的通用公式,都没有做过多的详解,因为这些不是此文的重点,如果你对这些感兴趣,可以参考下面我列出来的这本参考书,或者和我交流沟通。这是一系列文章的其中一篇,你可以在这儿Encode & Decode集序找到他其他的兄弟。

参考

  • 屈婉玲,耿素云,张立昂. 离散数学:高等教育出版社

推荐阅读更多精彩内容

  • 这是去年12月在CSDN写的一篇加密算法文章 现在决定在简书写博客 移植过来方便复习再理解。 最近算法课老师要求小...
    icecrea阅读 502评论 1 1
  • 必备数学知识 RSA加密算法中,只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以,我们也需要了解这几...
    依然饭太稀阅读 600评论 0 0
  • RSA是第一个比较完善的公开密钥算法,它既能用于加密,也能用于数字签名。RSA以它的三个发明者Ron Rivest...
    暗物质阅读 734评论 0 0
  • 生成密钥随机选择两个不相等的质数p和q。例:61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。)计算p和q的乘...
    未知代码阅读 354评论 0 1
  • 3.4 CSS3圆角边框属性 在web页面上圆角效果很常见。圆角给页面增添曲线之美,让页面不那么生硬,但是为了设计...
    白小虫阅读 182评论 0 0
  • 郑浩宇沉思了片刻,讲诉了季凯想要知道的一切....... “我和卫红真的度过了一段幸福时光,那段时光是我...
    冒牌文人阅读 137评论 0 0
  • 红红的太阳蓝蓝的天,蓝蓝的天上白云飘,青青的河水鱼儿游,绿绿的的树上鸟儿飞。
    妤昱姗博阅读 152评论 0 0
  • 这是一个很古老的传说............ 很久很久以前,在一个偏僻的小山村有一对兄妹,他们各自身怀特殊的能力。...
    AegeanIMC阅读 165评论 2 2
  • 陈家有女闺中出; 温文尔雅似天成。 叶已静停风未止; 斯是庭宇立佳人。
    94Dboy阅读 113评论 0 1