Floyd判圈算法(龟兔赛跑算法)

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一、算法简述

Floyd判圈算法(Floyd Cycle Detection Algorithm),又称龟兔赛跑算法(Tortoise and Hare Algorithm),是一个可以在有限状态机、迭代函数或者链表上判断是否存在环,以及判断环的起点与长度的算法。

二、基本思路

在某种关系下,顶点 i 到 k 拓扑有序,顶点 k 到 j 也是相同的顺序,那么 i 和 j 也存在这个顺序。要是某一个顶点出现了自己到自己的环,那么图中就有环,但是这种方法复杂度高一些,没有检测顶点出度或者DFS的方法快,但是非常简单。

三、问题

如何检测一个链表是否有环,如果有,那么如何确定环的起点和环的长度。

四、解决方案

(1)判断是否有环?
龟兔解法的基本思想可以用我们跑步的例子来解释,如果两个人同时出发,如果赛道有环,那么快的一方总能追上慢的一方。进一步想,追上时快的一方肯定比慢的一方多跑了几圈,即多跑的路的长度是圈的长度的倍数。

基于上面的想法,Floyd用两个指针,一个慢指针(龟)每次前进一步,快指针(兔)指针每次前进两步(两步或多步效果时等价的,只要一个比另一个快就行)。如果两者在链表头以外的某一点相遇(即相等)了,那么说明链表有环,否则,如果(快指针)到达了链表的结尾,那么说明没坏。

(2)求环的长度
假设相遇点为B点,让其中一个指针停在B不动,另一个一步一步向前走并记录步数,再次相遇时步数即为环的长度。

(3)如何确定环的起点
假设相遇点为B点。方法是将其中一个指针移到链表起点,另一个指针为B点,两者同时移动,每次移动一步,那么两者相遇的地方就是环的起点。

解析:
首先假设第一次相遇的时候慢指针走过的节点个数为i,设链表头部到环的起点的长度为m,环的长度为n,相遇的位置与起点与起点位置距离为k。
于是有:
i = m + a * n + k
其中a为慢指针走的圈数。

因为快指针的速度是慢指针的2倍,于是又可以得到另一个式子:
2 * i = m + b * n + k
其中b为快指针走的圈数。

两式相减得:
i = ( b - a ) * n
也就是说i是圈长的整数倍。

这是将其中一个节点放在起点,然后同时向前走m步时,此时从头部走的指针在m位置。而从相遇位置开始走的指针应该在距离起点i+m,i为圈长整数倍,则该指针也应该在距离起点为m的位置,即环的起点。

Calculator Conundrum
题意:
一个损坏的计算机,只能显示n位,现在你用一个数k不断的平方,只能保留最高n位,求最大的那个数是多少。
题解:
数字的出现会出现循环的情况,每次记录下最大的数,当出现循环就退出,输出最大的数。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL arr[1000];
LL next(int n,LL k)
{
    LL res=k*k;
    int len=0;
    while(res)
    {
        arr[++len]=res%10;
        res/=10;
    }
    LL ans=0;
    int ed=max(1,len-n+1);
    for(int i=len;i>=ed;i--)
    {
        ans=ans*10+arr[i];
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t,n;
    LL k,res;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%lld",&n,&k);
        LL slow=k,fast=k;
        res=k;
        while(true)
        {
            slow=next(n,slow);
            fast=next(n,fast);
            res=max(res,fast);
            fast=next(n,fast);
            res=max(res,fast);
            if(fast==slow) break;
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
}

链表判环题目:
141. Linked List Cycle
142. Linked List Cycle II

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