学习笔记《Group theory》

Group 是抽象代数(Abstract Algebra),也叫做近世代数(Modern Algebra)中的一种,其他的 Abstract Algebra 有:rings, fields, modules, vector spaces, lattices, and algebras

对 Group theory 的一个极简介绍:
https://www.youtube.com/watch?v=ylAXYqgbp4M

Abstract Algebra 的一个介绍:
https://www.youtube.com/watch?v=IP7nW_hKB7I

Group 的概念引发自多项式方程的研究,由 Évariste Galois 在18世纪30年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何学的贡献之后,群概念在1870年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科,它以自己的方式研究群。为了探索群,数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分,比如置换群、子群、商群和单群等。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中,因为许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用

Galois 是一个极具传奇性的人物,年仅21岁就英年早逝于一场近乎自杀的决斗中。Galois 创立和运用 Galois group,彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论。在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识,曾呈送科学院3篇学术论文,均被退回或遗失

四条基本定理

Group 的历史和四条基本定理的介绍:
https://www.youtube.com/watch?v=g7L_r6zw4-c


A group is a set, G, together with an operation • (called the group law of G) that combines any two elements a and b to form another element, denoted a • b or ab. To qualify as a group, the set and operation, (G, •), must satisfy four requirements known as the group axioms:

Closure: (封闭的)
For all a, b in G, the result of the operation, a • b, is also in G.

Associativity: (操作顺序可换)
For all a, b and c in G, (a • b) • c = a • (b • c).

Identity element: (有一个唯一存在的元状态)
There exists an element e in G such that, for every element a in G, the equation e • a = a • e = a holds. Such an element is unique (see below), and thus one speaks of the identity element.

Inverse element: (通过操作可以回到元状态)
For each a in G, there exists an element b in G, commonly denoted a−1 (or −a, if the operation is denoted "+"), such that a • b = b • a = e, where e is the identity element.

群的置换(permutations on a set)

群的置换(permutations on a set)是一个函数,一种操作

将一个群里面的数据进行变化的各种过程,比如整数的(+1 和 -1),三角形的(右转120度,中轴旋转)等等的可能操作,这些操作,称为「置换」

对置换的一个介绍:
https://www.youtube.com/watch?v=3aNeCWRjh8I

有限群

有限群是具有有限多个元素的群。

群的阶(Order of a Group)

一个群所含元素的个数(也称为势),称为有限群的阶。一个群G的阶被标记为ord(G) 或 |G|

置换群(Permutation Group)

一种特殊的群,一个角上标着1、2、3、4的正方形,通过旋转90度翻转等,一共可以的到8种情况,这8种情况就构成一个置换群

一类具体的有限群。有限集合Ω上的一些置换组成的集合,在置换的乘法下所组成的群,称为置换群。

一个置换群的介绍:
https://www.youtube.com/watch?v=f-EAsI8eT6Y

置换群研究过程中的写法,挺有趣的:

对称群(Gymmetric Group)

对称群,是指有 n 个元素的群的可能的转换方式,所有的可能转换方式构成的群,称为对称群

阶(Order)

一个群的阶

一个群的阶是指其势,即其元素的个数,一个群G的阶被标记为ord(G) 或 |G|

一个群元素的阶:

一个群元素的阶是指群里面的这个元素经过多少次平方之后,可以成为这个群的 Identity Element(平方只是实数、复数、矩阵等才有的概念,所以貌似「一个群元素的阶」并不具有广泛的意义)

任何群的 Identity Element 都等于 1

一个群元素的阶的一个介绍视频:
https://www.youtube.com/watch?v=OWTKYLAEYvY

群的交换性

如果群里面的两个操作在交换以后是等价的(g * f = f * g),那我们就可以将其称为一个交换群(commutative group),或者 Abelian group,如果是不等价的(g * f ≠ f * g),则称为非交换(noncommutative group),或者 Non-abelian group

笔记

J.S. Milne 数十年的教学笔记,可以作为以后深入时候的参考,J.S. Milne 希望内容不超过200页:

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/index.html

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