第一讲 常用数据结构

数据结构是算法的基石,如果没有扎实的数据结构基础,想要把算法学好甚至融会贯通是非常困难的,而优秀的算法又往往取决于你采用哪种数据结构。

所以,接下来两节课的主题是,在算法面试中经常会被用到的数据结构以及一些实用技巧。同时穿插一些经典的题目,加深理解。这节课主要讲:

  • 数组、字符串

  • 链表

  • 队列

  • 双端队列

数组、字符串(Array & String)
字符串转化

数组和字符串是最基本的数据结构,在很多编程语言中都有着十分相似的性质,而围绕着它们的算法面试题也是最多的。

很多时候,在分析字符串相关面试题的过程中,我们往往要针对字符串当中的每一个字符进行分析和处理,甚至有时候我们得先把给定的字符串转换成字符数组之后再进行分析和处理。

举例:翻转字符串“algorithm”。

翻转字符串

解法:用两个指针,一个指向字符串的第一个字符 a,一个指向它的最后一个字符 m,然后互相交换。交换之后,两个指针向中央一步步地靠拢并相互交换字符,直到两个指针相遇。这是一种比较快速和直观的方法。

注意:由于无法直接修改字符串里的字符,所以必须先把字符串变换为数组,然后再运用这个算法。

数组的优缺点

要掌握一种数据结构,就必须要懂得分析它的优点和缺点。数组的优点在于:

  • 构建非常简单

  • 能在 O(1) 的时间里根据数组的下标(index)查询某个元素

而数组的缺点在于:

  • 构建时必须分配一段连续的空间

  • 查询某个元素是否存在时需要遍历整个数组,耗费 O(n) 的时间(其中,n 是元素的个数)

  • 删除和添加某个元素时,同样需要耗费 O(n) 的时间

所以,当你在考虑是否应当采用数组去辅助你的算法时,请务必考虑它的优缺点,看看它的缺点是否会阻碍你的算法复杂度以及空间复杂度。

例题分析

LeetCode 第 242 题:给定两个字符串 s 和 t,编写一个函数来判断 t 是否是 s 的字母异位词。

说明:你可以假设字符串只包含小写字母。

示例 1

输入: s = "anagram", t = "nagaram"

输出: true

示例 2

输入: s = "rat", t = "car"

输出: false

字母异位词,也就是两个字符串中的相同字符的数量要对应相等。例如,s 等于 “anagram”,t 等于 “nagaram”,s 和 t 就互为字母异位词。因为它们都包含有三个字符 a,一个字符 g,一个字符 m,一个字符 n,以及一个字符 r。而当 s 为 “rat”,t 为 “car”的时候,s 和 t 不互为字母异位词。

解题思路

一个重要的前提“假设两个字符串只包含小写字母”,小写字母一共也就 26 个,因此:

  1. 可以利用两个长度都为 26 的字符数组来统计每个字符串中小写字母出现的次数,然后再对比是否相等;

  2. 可以只利用一个长度为 26 的字符数组,将出现在字符串 s 里的字符个数加 1,而出现在字符串 t 里的字符个数减 1,最后判断每个小写字母的个数是否都为 0。

按上述操作,可得出结论:s 和 t 互为字母异位词。

建议:限于篇幅不对此题进行代码剖析,但是这道题非常经典,建议大家到 LeetCode 上试试。

链表(LinkedList)

单链表:链表中的每个元素实际上是一个单独的对象,而所有对象都通过每个元素中的引用字段链接在一起。

双链表:与单链表不同的是,双链表的每个结点中都含有两个引用字段。

链表的优缺点

链表的优点如下:

  • 链表能灵活地分配内存空间;

  • 能在 O(1) 时间内删除或者添加元素,前提是该元素的前一个元素已知,当然也取决于是单链表还是双链表,在双链表中,如果已知该元素的后一个元素,同样可以在 O(1) 时间内删除或者添加该元素。

链表的缺点是:

  • 不像数组能通过下标迅速读取元素,每次都要从链表头开始一个一个读取;

  • 查询第 k 个元素需要 O(k) 时间。

应用场景:如果要解决的问题里面需要很多快速查询,链表可能并不适合;如果遇到的问题中,数据的元素个数不确定,而且需要经常进行数据的添加和删除,那么链表会比较合适。而如果数据元素大小确定,删除插入的操作并不多,那么数组可能更适合。

经典解法

链表是实现很多复杂数据结构的基础,经典解法如下。

1. 利用快慢指针(有时候需要用到三个指针)

典型题目例如:链表的翻转,寻找倒数第 k 个元素,寻找链表中间位置的元素,判断链表是否有环等等。

2. 构建一个虚假的链表头

一般用在要返回新的链表的题目中,比如,给定两个排好序的链表,要求将它们整合在一起并排好序。又比如,将一个链表中的奇数和偶数按照原定的顺序分开后重新组合成一个新的链表,链表的头一半是奇数,后一半是偶数。

在这类问题里,如果不用一个虚假的链表头,那么在创建新链表的第一个元素时,我们都得要判断一下链表的头指针是否为空,也就是要多写一条 if else 语句。比较简洁的写法是创建一个空的链表头,直接往其后面添加元素即可,最后返回这个空的链表头的下一个节点即可。

建议:在解决链表的题目时,可以在纸上或者白板上画出节点之间的相互关系,然后画出修改的方法,既可以帮助你分析问题,又可以在面试的时候,帮助面试官清楚地看到你的思路。

例题分析

LeetCode 第 25 题:给你一个链表,每 k 个节点一组进行翻转,请你返回翻转后的链表。k 是一个正整数,它的值小于或等于链表的长度。如果节点总数不是 k 的整数倍,那么请将最后剩余的节点保持原有顺序。

说明:

  • 你的算法只能使用常数的额外空间。

  • 你不能只是单纯的改变节点内部的值,而是需要实际的进行节点交换。

示例:

给定这个链表:1->2->3->4->5

当 k=2 时,应当返回:2->1->4->3->5

当 k=3 时,应当返回:3->2->1->4->5

解题思路

这道题考察了两个知识点:

  1. 对链表翻转算法是否熟悉

  2. 对递归算法的理解是否清晰

在翻转链表的时候,可以借助三个指针:prev、curr、next,分别代表前一个节点、当前节点和下一个节点,实现过程如下所示。

K个一组翻转链表
  1. 将 curr 指向的下一节点保存到 next 指针;

  2. curr 指向 prev,一起前进一步;

  3. 重复之前步骤,直到 k 个元素翻转完毕;

  4. 当完成了局部的翻转后,prev 就是最终的新的链表头,curr 指向了下一个要被处理的局部,而原来的头指针 head 成为了链表的尾巴。

注意:这道题是“LeetCode 第 24 题,两个一组翻转链表“的扩展,即当 k 等于 2 时,第 25 题就变成了第 24 题。

栈(Stack)

特点:栈的最大特点就是后进先出(LIFO)。对于栈中的数据来说,所有操作都是在栈的顶部完成的,只可以查看栈顶部的元素,只能够向栈的顶部压⼊数据,也只能从栈的顶部弹出数据。

实现:利用一个单链表来实现栈的数据结构。而且,因为我们都只针对栈顶元素进行操作,所以借用单链表的头就能让所有栈的操作在 O(1) 的时间内完成。

应用场景:在解决某个问题的时候,只要求关心最近一次的操作,并且在操作完成了之后,需要向前查找到更前一次的操作。

如果打算用一个数组外加一个指针来实现相似的效果,那么,一旦数组的长度发生了改变,哪怕只是在最后添加一个新的元素,时间复杂度都不再是 O(1),而且,空间复杂度也得不到优化。

注意:栈是许多 LeetCode 中等难度偏上的题目里面经常需要用到的数据结构,掌握好它是十分必要的。

例题分析一

LeetCode 第 20 题:给定一个只包括 '(',')','{','}','[',']' 的字符串,判断字符串是否有效。

有效字符串需满足:

  1. 左括号必须用相同类型的右括号闭合。

  2. 左括号必须以正确的顺序闭合。

注意:空字符串可被认为是有效字符串。

示例 1

输入: "()"

输出: true

示例 2

输入: "(]"

输出: false

解题思路

利用一个栈,不断地往里压左括号,一旦遇上了一个右括号,我们就把栈顶的左括号弹出来,表示这是一个合法的组合,以此类推,直到最后判断栈里还有没有左括号剩余。

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例题分析二

LeetCode 第 739 题:根据每日气温列表,请重新生成一个列表,对应位置的输入是你需要再等待多久温度才会升高超过该日的天数。如果之后都不会升高,请在该位置用 0 来代替。

提示:气温列表 temperatures 长度的范围是 [1, 30000]。

示例:给定一个数组 T 代表了未来几天里每天的温度值,要求返回一个新的数组 D,D 中的每个元素表示需要经过多少天才能等来温度的升高。

给定 T:[23, 25, 21, 19, 22, 26, 23]

返回 D: [ 1, 4, 2, 1, 1, 0, 0]

解题思路

第一个温度值是 23 摄氏度,它要经过 1 天才能等到温度的升高,也就是在第二天的时候,温度升高到 24 摄氏度,所以对应的结果是 1。接下来,从 25 度到下一次温度的升高需要等待 4 天的时间,那时温度会变为 26 度。

思路 1:最直观的做法就是针对每个温度值向后进行依次搜索,找到比当前温度更高的值,这样的计算复杂度就是 O(n2)。

但是,在这样的搜索过程中,产生了很多重复的对比。例如,从 25 度开始往后面寻找一个比 25 度更高的温度的过程中,经历了 21 度、19 度和 22 度,而这是一个温度由低到高的过程,也就是说在这个过程中已经找到了 19 度以及 21 度的答案,它就是 22 度。

思路 2:可以运用一个堆栈 stack 来快速地知道需要经过多少天就能等到温度升高。从头到尾扫描一遍给定的数组 T,如果当天的温度比堆栈 stack 顶端所记录的那天温度还要高,那么就能得到结果。

每日温度
  1. 对第一个温度 23 度,堆栈为空,把它的下标压入堆栈;

  2. 下一个温度 24 度,高于 23 度高,因此 23 度温度升高只需 1 天时间,把 23 度下标从堆栈里弹出,把 24 度下标压入;

  3. 同样,从 24 度只需要 1 天时间升高到 25 度;

  4. 21 度低于 25 度,直接把 21 度下标压入堆栈;

  5. 19 度低于 21 度,压入堆栈;

  6. 22 度高于 19 度,从 19 度升温只需 1 天,从 21 度升温需要 2 天;

  7. 由于堆栈里保存的是下标,能很快计算天数;

  8. 22 度低于 25 度,意味着尚未找到 25 度之后的升温,直接把 22 度下标压入堆栈顶端;

  9. 后面的温度与此同理。

该方法只需要对数组进行一次遍历,每个元素最多被压入和弹出堆栈一次,算法复杂度是 O(n)。

利用堆栈,还可以解决如下常见问题:

  • 求解算术表达式的结果(LeetCode 224、227、772、770)

  • 求解直方图里最大的矩形区域(LeetCode 84)

队列(Queue)

特点:和栈不同,队列的最大特点是先进先出(FIFO),就好像按顺序排队一样。对于队列的数据来说,我们只允许在队尾查看和添加数据,在队头查看和删除数据。

实现:可以借助双链表来实现队列。双链表的头指针允许在队头查看和删除数据,而双链表的尾指针允许我们在队尾查看和添加数据。

应用场景:直观来看,当我们需要按照一定的顺序来处理数据,而该数据的数据量在不断地变化的时候,则需要队列来帮助解题。在算法面试题当中,广度优先搜索(Breadth-First Search)是运用队列最多的地方,我们将在第 06 课时中详细介绍。

双端队列(Deque)

特点:双端队列和普通队列最大的不同在于,它允许我们在队列的头尾两端都能在 O(1) 的时间内进行数据的查看、添加和删除。

实现:与队列相似,我们可以利用一个双链表实现双端队列。

应用场景:双端队列最常用的地方就是实现一个长度动态变化的窗口或者连续区间,而动态窗口这种数据结构在很多题目里都有运用。

例题分析

LeetCode 第 239 题:给定一个数组 nums,有一个大小为 k 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。你只可以看到在滑动窗口 k 内的数字,滑动窗口每次只向右移动一位。返回滑动窗口最大值。

注意:你可以假设 k 总是有效的,1 ≤ k ≤ 输入数组的大小,且输入数组不为空。

示例:给定一个数组以及一个窗口的长度 k,现在移动这个窗口,要求打印出一个数组,数组里的每个元素是当前窗口当中最大的那个数。

输入:nums = [1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7],k = 3

输出:[3, 3, 5, 5, 6, 7]

解题思路

思路 1:移动窗口,扫描,获得最大值。假设数组里有 n 个元素,算法复杂度就是 O(n)。这是最直观的做法。

思路 2:利用一个双端队列来保存当前窗口中最大那个数在数组里的下标,双端队列新的头就是当前窗口中最大的那个数。通过该下标,可以很快地知道新的窗口是否仍包含原来那个最大的数。如果不再包含,我们就把旧的数从双端队列的头删除。

因为双端队列能让上面的这两种操作都能在 O(1) 的时间里完成,所以整个算法的复杂度能控制在 O(n)。

滑动窗口最大值
  1. 初始化窗口 k=3,包含 1,3,-1,把 1 的下标压入双端队列的尾部;

  2. 把 3 和双端队列的队尾的数据逐个比较,3 >1,把 1 的下标弹出,把 3 的下标压入队尾;

  3. -1<3,-1 压入双端队列队尾保留到下一窗口进行比较;

  4. 3 为当前窗口的最大值;

  5. 窗口移动,-3 与队尾数据逐个比较,-3<-1,-3 压入双端队列队尾保留;

  6. 3 为当前窗口的最大值;

  7. 窗口继续移动,5>-3,-3 从双端队列队尾弹出;

  8. 5>-1,-1 从队尾弹出;

  9. 3 超出当前窗口,从队列头部弹出;

  10. 5 压入队列头部,成为当前窗口最大值;

  11. 继续移动窗口,操作与上述同理。

窗口最大值只需读取双端队列头部元素。

树(Tree)

树的结构十分直观,而树的很多概念定义都有一个相同的特点:递归,也就是说,一棵树要满足某种性质,往往要求每个节点都必须满足。例如,在定义一棵二叉搜索树时,每个节点也都必须是一棵二叉搜索树。

正因为树有这样的性质,大部分关于树的面试题都与递归有关,换句话说,面试官希望通过一道关于树的问题来考察你对于递归算法掌握的熟练程度。

树的形状

在面试中常考的树的形状有:普通二叉树、平衡二叉树、完全二叉树、二叉搜索树、四叉树(Quadtree)、多叉树(N-ary Tree)。

对于一些特殊的树,例如红黑树(Red-Black Tree)、自平衡二叉搜索树(AVL Tree),一般在面试中不会被问到,除非你所涉及的研究领域跟它们相关或者你十分感兴趣,否则不需要特别着重准备。

关于树的考题,无非就是要考查树的遍历以及序列化(serialization)。

树的遍历

1. 前序遍历(Preorder Traversal)

方法:先访问根节点,然后访问左子树,最后访问右子树。在访问左、右子树的时候,同样,先访问子树的根节点,再访问子树根节点的左子树和右子树,这是一个不断递归的过程。

前序遍历

应用场景:运用最多的场合包括在树里进行搜索以及创建一棵新的树。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)

方法:先访问左子树,然后访问根节点,最后访问右子树,在访问左、右子树的时候,同样,先访问子树的左边,再访问子树的根节点,最后再访问子树的右边。

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应用场景:最常见的是二叉搜素树,由于二叉搜索树的性质就是左孩子小于根节点,根节点小于右孩子,对二叉搜索树进行中序遍历的时候,被访问到的节点大小是按顺序进行的。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)

方法:先访问左子树,然后访问右子树,最后访问根节点。

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应用场景:在对某个节点进行分析的时候,需要来自左子树和右子树的信息。收集信息的操作是从树的底部不断地往上进行,好比你在修剪一棵树的叶子,修剪的方法是从外面不断地往根部将叶子一片片地修剪掉。

注意

  • 掌握好这三种遍历的递归写法和非递归写法是非常重要的,懂得分析各种写法的时间复杂度和空间复杂度同样重要。

  • 无论是前端工程师,还是后端工程师,在准备面试的时候,树这个数据结构都是最应该花时间学习的,既能证明你对递归有很好的认识,又能帮助你学习图论(关于图论,我们将在下一节课一起讨论)。树的许多性质都是面试的热门考点,尤其是二叉搜索树(BST)。

建议:练习一道经典的 LeetCode 第 250 题,在一棵二叉树里,统计有多少棵子树,要求子树里面的元素拥有相同的数字。

例题分析

LeetCode 第 230 题:给定一个二叉搜索树,编写一个函数 kthSmallest 来查找其中第 k 个最小的元素。

说明:你可以假设 k 总是有效的,1 ≤ k ≤ 二叉搜索树元素个数。

解题思路

这道题考察了两个知识点:

  1. 二叉搜索树的性质

  2. 二叉搜索树的遍历

二叉搜索树的性质:对于每个节点来说,该节点的值比左孩子大,比右孩子小,而且一般来说,二叉搜索树里不出现重复的值。

二叉搜索树的中序遍历是高频考察点,节点被遍历到的顺序是按照节点数值大小的顺序排列好的。即,中序遍历当中遇到的元素都是按照从小到大的顺序出现。

因此,我们只需要对这棵树进行中序遍历的操作,当访问到第 k 个元素的时候返回结果就好。

二叉搜索中第K小的元素

注意:这道题可以变成求解第 K 大的元素,方法就是对这个二叉搜索树进行反向的中序遍历,那么数据的被访问顺序就是由大到小了。

总结

这节课主要讲解算法面试中常用的基本数据结构。掌握好这些数据结构是基础,绝大部分的算法面试题都得靠它们来帮忙,因此,一定要花功夫勤练题目来深入理解它们。

下一节课将讲解相对高级的数据结构,对应解决的是许多中等难度以上的面试题目。

摘自 --------《300分钟搞定数据结构与算法》苏勇 Google 资深软件工程师

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