彻底理解红黑树(二)之 插入

彻底理解红黑树(一)之 二叉搜索树
彻底理解红黑树(二)之 插入
彻底理解红黑树(三)之 删除

前言

红黑树的插入情况并不算复杂,建议阅读本文后,自己动手试试,一来印证本文是否正确,二来自己尝试着摸一些规律,加深印象(文末也有一个简单的例子,已涉及全部情况)。

1. 红黑树的定义

红黑树在二叉搜索树的基础上,还要求有以下性质:

  1. 节点是红色或黑色;
  2. 根节点是黑色;
  3. 不能有连续的两个红色节点。
  4. 从任一节点到其每个叶子的简单路径都包含相同数目的黑色节点。
两棵简单的红黑树

性质3表明:红色节点的父、左子、右子只能是黑色节点,红色和红色不能直接连一起;而黑色无论红黑都可以连一起。(红色暴脾气互不相容,黑色和蔼可亲谁来都行);
性质4表明:随便选一个节点,不论从怎么走,走到最后叶子节点时,其经过路径的黑色节点数量都是相等的(所谓完全黑平衡)。

而性质3和4共同决定了:最长路径的节点总数量不会超过最短路径的两倍。因为黑色节点数量要一样,红色不能连着来,从而路径全黑时最短,红黑交替时最长。比如4个黑色节点,最短:黑-黑-黑-黑(4),最长:黑-红-黑-红-黑-红-黑(7)。
因为路径长度/高度差有了一定限制,所以称红黑树是有一定平衡性的,不会出现极端倾斜的情况。

有一些红黑树定义(比如维基百科),还有一个性质:“叶子是黑色的NULL节点”:

带NULL节点的两棵黑红树

引入黑色的NULL节点并不会对之前的定义产生影响(各路径都增加一个黑色节点,黑色数量依然相等),其目的更多是为了简化平衡操作的情况,平衡时可以认为:null就是黑色节点。此时只需要考虑红和黑这两种情况就行,而不用考虑非红非黑的null。

2.旋转

说插入之前,先来看看旋转:

树的旋转

旋转后,原来“左小右大”的特点不会受到影响;影响的是左右子树的高度,右旋左子树高度-1,右子树+1;左旋右子树高度-1,左子树+1。
比如某棵树的左子树高度已经达到3,而右子树只有1,只需要右旋一下,左右子树高度都将调整为2。整棵树来看,高度就相当于降低了1(3 -> 2),这就是高度的“平衡”。

旋转前首先要确定旋转的节点(姑且叫支点)是哪个,这个非常重要。比如上图右旋前,要以X为支点才能转成右侧那样,如果选择Y作为支点,则要往下一层看了(X节点将以P的角色出现)。

另外留意一下b:
右旋前,b是挂在Y的右子,而右旋后,挂到了X的左子了;
左旋前,b是挂在X的左子,而左旋后,挂到了Y的右子了;

3. 插入平衡

开始之前,我们先约定一下名称:

红黑树属于二叉搜索树,插入动作也与二叉搜索树一致,只不过红黑树在插入之后,多了平衡动作(旋转与涂色)。

新插入的节点均为红色节点,因为红色不会影响路径上黑色节点的数量,保持性质4。如果父节点为黑色,就直接结束了;如果父节点为红色,则需要另外处理了。

以新插入的节点为当前平衡节点N,插入平衡大体上分为以下情形:

红黑树-插入平衡情形

情形1. N为根节点(父节点为NULL)

当前平衡节点N为根节点时,直接涂黑根节点即可。

N为根节点

情形2. 父黑

父节点为黑色时,无需其他操作,已然平衡。

父黑

情形3. 父红-叔红

父红-叔红时,将父/叔节(P/U)点涂黑,祖父节点(GP)涂红;而后以祖父节点(GP)作为新的平衡节点N,递归执行平衡操作。

i情形3 父红-叔红

情形4. 父红-叔黑

情形4.1 父节点和N同一边

情形4.1.1 父N同左

“父N同左”指的是:父节点为祖父节点的左子,N为父节点的左子
此时以祖父节点(GP)为支点进行右旋;然后将P涂黑,将GP涂红。

情形4.1.1 父N同左

旋转后,P涂黑是因为要涂为原GP的黑色(往上兼容GP的父节点);而GP涂红则是因为右旋后,经过U的路径的黑色节点数量+1,涂红进行数量平衡;下同。

情形4.1.2 父N同右

“父N同右”指的是:父节点是祖父节点的右子,N为父节点的右子
此时以祖父节点(GP)为支点进行左旋;将P涂黑,将GP涂红。

情形4.1.2 父N同右

情形4.2 父节点和N不在同一边

情形4.2.1 父左N右

“父左N右”指的是:父节点是祖父节点的左子,N为父节点的右子
此时,以父节点(P)进行左旋,旋转后,以P作为新的平衡节点N,转至 [情形4.1.1 父N同左] 处理。

父左N右

情形4.2.2 父右N左

“父右N左”指的是:父节点是祖父节点的右子,N为父节点的左子
此时,以父节点(P)进行右旋,旋转后,以P作为新的平衡节点,此时再进行【情形4.1.2 父N同右】处理。

父右N左

4. 插入总结与实例

首先是先插入再说;插入后,以刚插入的节点作为当前平衡节点N,进行平衡操作。现在回头看插入平衡的这几种情形,其实并不复杂:

  1. N为根:涂黑完事;
  2. 父黑:啥事不用管;
  3. 父红叔红:父/叔涂黑,祖父涂红,然后把祖父当成新的平衡节点递归处理(我们下面平衡了,让他老人家和上面沟通吧);
  4. 父红叔黑:父节点和新插入节点同一边的话,扭一下就完事了(同左右旋,同右左旋,顺便涂色);不在同一边的话,先扭到同一边吧。

例:插入 10,20,15,30,5,8;
为了简化,图中没有画出null的黑色节点。

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 140,587评论 1 295
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 60,384评论 1 254
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 92,492评论 0 206
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 40,584评论 0 171
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 48,270评论 1 250
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 38,517评论 1 167
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 30,227评论 2 266
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 29,001评论 0 161
  • 想象着我的养父在大火中拼命挣扎,窒息,最后皮肤化为焦炭。我心中就已经是抑制不住地欢快,这就叫做以其人之道,还治其人...
    爱写小说的胖达阅读 28,705评论 6 223
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 32,339评论 0 211
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 29,105评论 2 211
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 30,432评论 1 222
  • 白月光回国,霸总把我这个替身辞退。还一脸阴沉的警告我。[不要出现在思思面前, 不然我有一百种方法让你生不如死。]我...
    爱写小说的胖达阅读 24,131评论 0 31
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 26,950评论 2 208
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 31,335评论 3 200
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,571评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 25,897评论 0 163
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 33,295评论 2 226
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 33,414评论 2 228