ECC椭圆曲线加密算法(一)

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随着区块链的大热,椭圆曲线算法也成了密码学的热门话题。在Bitcoin 生成地址 中使用到了椭圆曲线加密算法。

椭圆曲线

椭圆曲线的一般表现形式:y^2= x^3+ax+b

椭圆曲线其实不是椭圆形的,而是下面的图形:

椭圆曲线

Bitcoin使用了 secp256k1 这条特殊的椭圆曲线,公式是:
y^2=x^3+7
这个东西怎么加密的呢?

群(Groups)

19世纪挪威青年 尼尔斯·阿贝尔 从普通的代数运算中,抽象出了加群(也叫阿贝尔群或交换群),使得在加群中,实数的算法和椭圆曲线的算法得到了统一。是什么意思呢?

我们在实数中,使用的加减乘除,同样可以用在椭圆曲线中!
对的,椭圆曲线也可以有加法、乘法运算。

数学中的群是一个集合,我们为它定义了一个二元运算,我们称之为“加法”,并用符号+表示。假定我们要操作的群用𝔾表示,要定义的加法必须遵循以下四个特性:

  • 封闭性:如果a和b都是𝔾的成员,那么a+b也是𝔾的成员。

  • 结合律:(a + b) + c = a + (b + c);

  • 单位元:存在确切的一个值,称之为单位元,0可以保证该等式成立 a+0=0+a=a

  • 逆元。每个成员都有一个相反数:对于任意值a必定存在b使得a+b=0

如果在增加第5个条件:
交换律:a + b = b + a

那么,称这个群为阿贝尔群。根据这个定义整数集是个阿贝尔群。

岔开一下话题,伽罗瓦阿贝尔 分别独立的提出了群论,他们并称为现代群论的创始人,可惜两位天才都是英年早逝。

椭圆曲线的群定义

如上文所说,我们可以基于椭圆曲线定义一个群。具体地说:

  • 元素都在椭圆曲线上
  • 单位元是无穷0点
  • 点P的逆元与P关于X轴对称
  • 加法由下列规则给出:给定三个共线的非零点 P、Q、R,则P+Q+R=0(无限远点)成立

椭圆曲线运算之加法

在椭圆曲线上有 不重合且不对称的 A 、B两点,两点与曲线相交于X点, X与x轴的对称点为R,R即为 A+B的结果。这就是椭圆曲线的加法定义。

因为椭圆曲线方程存在 y^2项,因此椭圆曲线必然关于x轴对称

椭圆曲线加法运算

椭圆曲线的群律

曲线:y^2=x^3+5x+7
坐标:A=(2,5),B=(3,7)
A、B正好在曲线上,因为坐标满足曲线公式
5^2=2^3+5*2+7=25
7^2=3^3+5*3+7=49
那如何找到相交的第三个点呢?

通过 A、B两点确定直线方程,
设直线方程:y=mx+c,m为直线的斜率
m=\dfrac{B_y-A_y}{B_x-A_x}=\dfrac{7-5}{3-2}=2
进一步得到c=1。

联立方程:

\begin{equation} \left.\begin{aligned} y=2x+1\\ y^2=x^3+5x+7\\ \end{aligned}\right\} \Rightarrow x^3-4x^2+x+6=0 \end{equation}

X(-1,-1)的x坐标-1代入方式正好满足方程,所以A、B两点所在直线与曲线相交于 X(-1,-1),则点X的关于x轴的对称点为R(-1,1),即A(2,5)+B(3,5)=R(-1,1)。

根据椭圆曲线的群律(GROUP LAW)公式,我们可以方便的计算R点。

曲线方程:y^2=x^3+ax+b
当A=(x1,y1),B=(x2,y2) ,R=A+B=(x3,y3),x1≠x2时,
m=\dfrac{y2-y1}{x2-x1}, m是斜率
x3=m^2-x1-x2
y3=m(x1-x3)-y1

A=(2,5), B=(3,7) , R=(-1,1) 符合上面的公式。

椭圆曲线加法符合交换律么?

先计算(A+B),在计算 A+B+C

A+B+C

先计算B+C, 在计算 B+C+A

B+C+A

看图像,计算结果相同,大家手动算下吧。

A + A 呢, 怎么计算呢?

定义乘法运算

当两点重合时候,无法画出 “过两点的直线”,在这种情况下,
过A点做椭圆曲线的切线,交于X点,X点关于x轴的对称点即为2A,这样的计算称为 “椭圆曲线上的二倍运算”。

随着两点越来越靠近,过两点的直线逐渐趋近于曲线的切线。

下图即为椭圆曲线乘法运算:

椭圆曲线乘法运算

我们将在ECC椭圆曲线加密算法(二) 介绍有限域,椭圆曲线的离散对数问题,椭圆曲线加密就是应用了离散对数问题。


参考:

https://eng.paxos.com/blockchain-101-foundational-math
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography
https://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introduction/

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