数学分析脉络笔记-积分

数学的发生发展,从来都不是一蹴而就的。

一、积分历史

A、牛顿莱布尼茨的微积分是经验的,方法论的,和级数有密切关系,问题是当时根本不考虑级数是否收敛,要不要说一致收敛了,包括后来的伯努力兄弟,欧拉和傅立叶都是拿起级数就用(竟然没出错 ),拉格朗日甚至把微积分建立在级数基础上。
B、牛顿莱布尼茨的微积分另一个更严重的问题就是无穷小量dx,它就像一个幽灵,既可以直接当作0,又能当分母,既像一个静态的数,又像一个动态变小的过程,微积分这座大厦的基础根本不牢固,这也是拉格朗日当初考虑把级数作为微积分的基础的原因,这种局面直到柯西采用极限作为微积分的基础重新定义微分并且建立级数收敛的概念,然后魏尔斯特拉斯提出一致收敛,黎曼定义定积分,最后勒贝格在康托尔集合论基础上建立勒贝格积分,现代微积分的大厦终于落成。
C、我们现在见到的微积分的叙述方式和黎曼不同(现在微积分叙述更接近达布),和柯西也不同,和伯努力欧拉拉格朗日不同,更和牛顿莱布尼茨不相同,但是你都能看到他们的影子。

二、积分性质

此处积分,指的是黎曼积分

1、小和、大和、积分和
2、可积准则,可积的必要条件:函数有界
3、三类可积函数:

3.1、函数在闭区间连续,则可积;
3.2、函数在闭区间有界,且只有有限个间断点,则可积;
3.3、函数在闭区间单调,则可积。注:闭区间单调函数可能有无限个间断点。

4、定积分中值定理
5、牛顿-莱布尼茨公式
6、分部积分法、换元积分法

参考:
1、数学分析-刘玉莲
2、牛顿莱布尼茨积分和柯西黎曼积分的区别?