代数角度的不可压缩性

前作已经谈过用整系数多项式作为实数版图灵机的参照标准,在这基础上我们不妨考虑实数版的算法信息论。离散版本的算法信息论认为:设有通用图灵机U与长度为N的序列X,若U无法从任何长度小于N的输入计算得出X,则称序列X是不可压缩的,研究结果表明长序列的不可压缩性意味着算法会将其视为随机序列。我们不妨将类似的思路移用到实数域上:

定义(不可压缩性):设有实数数组X= ({x_{1},x_{2},  ……x_{n} }),若\forall x_{i} \in X,P[X/x_{i} ]\neq x_{i} ,则称实数数组X是不可压缩的。

式中P为任一整系数多项式,X/x_{i} 为从数组X中去除x_{i} 后的余集。

不难看出,这是为了保证数组中每一个实数都无法用其他成员组成的整系数多项式来替代,而因为我们将“实数机”的能力限制在整系数多项式,这其实就意味着没有办法用输入个数少于N的实数的计算来完整生成这个数组。

定理1:相对有理数域的代数独立性蕴含不可压缩性。

证明:整系数多项式是有理系数多项式的特例,假若数组可压缩,即\exists x_{i} ,P[X/x_{i} ]=x_{i} ,则P[X/x_{i} ]-x_{i} =0就破坏代数独立性。故不可压缩性得证。

离散版本的不可压缩序列,如Chaitin常数,往往难以得出具体数位的描述。在连续情形,我们则可以借助代数研究的武器库,窥视其一角:

定理2:数组e^\sqrt{2} ,e^\sqrt{3} ,e^\sqrt{5} ……e^\sqrt{prime(n)}是不可压缩的,其中prime(n)为第n个素数。

证明:各项的指数分别是不同素数的根式,故这些指数在有理数域上线性独立。根据Lindemann–Weierstrass定理,该数组在有理数域上代数独立。由定理1知其必有不可压缩性。

我们能够构造性地给出不可压缩的实数数组,那么,据此构造出的二进制序列是否也具有强烈的“随机性”呢?正如不可压缩的Chaitin序列一样?

问题:二进制序列B有无穷多位,第n位定义为e^\sqrt{prime(n)}二进制表示式中的第n位数字。B的性质在何种程度上接近真随机序列?

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