最速降线的数学模型—变分法

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PrivateEye_zzy
0.5 2018.11.28 18:15* 字数 3064

本章涉及知识点

1、最速降线的问题提出

2、开始推导最速绛线方程

3、泛函的定义

4、变分法的思想

5、推导欧拉方程式的第一种形式

6、推导欧拉方程式的第二种形式

7、变分法求解最速绛线轨迹方程

8、最速绛线轨迹方程的弧长和运动时间

9、ES6编程实战—Canvas动画模拟最速降线

一、最速降线的问题提出

考虑如下运动

质点从一个定点运动到不在其垂直下方的任意一个点(即排除自由落体运动),整个运动过程只受重力作用,不计摩擦力,那么问质点应该沿什么样的曲线下滑,才能使得运动时间最少?

由于质点运动的曲线有无穷多种情况,怎么在这些曲线簇中找到那条使得下降时间最短的曲线?就被称之为最速降线问题,是由意大利科学家伽利略在1630年提出的。当时伽利略认为这个曲线是一个圆,可是这显然是一个错误的答案,17世纪的数学家约翰.伯努利、牛顿、莱布尼兹和伯努利家族的成员都找到了这条曲线,这条曲线又被称作最速降线

二、开始推导最速绛线方程

下面我们开始推导最速绛线方程,如下图运动过程,假设物体从原点O点开始出发,沿任意曲线运动到A点

最速绛线运动

整个运动过程只有重力做功,根据动能守护可以得到最终末速度

末速度

取物体运动过程中的任意的弧长微分

弧长微分

则物体运动的时间微分为

时间微分

设O点坐标为(x1,y1),A点坐标为(x2,y2),则物体运动的总时间T为

物体运动的总时间T

至此我们得到了物体沿任意曲线下滑的时间积分函数表达式,下面就是求解这个积分函数。但是上述积分里包含y和y'两个未知数,而y和y'都是关于x的函数,也就是说函数的自变量包含了另外两个函数,为此需要用到泛函的知识来求解

三、泛函的定义

我们一般学习的函数,均是以任意或特定R作为定义域D,通过映射法则f,得到一组值的数域,即完成数域到数域的映射关系

一般函数

当我们将定义域D扩展到一个函数集合,通过映射法则F,得到一组值的数域,即完成函数空间到数域的映射关系,我们将这种映射称之为泛函

泛函

可见泛函本质也是一个函数,其定义域是一组函数,表示函数的广义函数

则我们推导的最速降线方程,就可以表示为一个泛函,即

最速降线的泛函形式

要求解上述泛函的积分,我们需要用到变分法的思想

四、变分法的思想

我们从整个运动过程开始推理,可以经过多次试验,让物体沿不同的曲线下滑,并记录每条曲线下滑的时间,最终我们一定可以找到一个最短的下落时间,则与其对应的曲线就是最速降线

物体沿任意曲线下滑

如上图,黑色的曲线表示物体沿任意曲线下滑,显然这是一个曲线簇,而红色的曲线就表示最速降线。而我们面对的问题是:怎么从黑色的曲线簇中找到这条最佳的红色曲线?

我们不妨令\bar{F}(x)表示曲线簇—实验泛函,F(x)表示最佳解泛函(最速降线),由于最速降线是曲线簇中花费时间最少的曲线,也就是说在时间这个维度上收敛到最小值,即F(x)是\bar{F}(x)的在时间方程上的极值情况

我们虽然不知道曲线簇和最佳解泛函的具体表达式,但是我们知道最佳解一定存在,且最佳解是曲线簇中的一条曲线(实验泛函出现时间极值的情况),则定义D(x)为不包含最佳解的曲线簇,即

不包含最佳解的曲线簇

我们设置一个任意实数的控制因子\varepsilon来控制D(x)的变化,即

控制因子

则上式可以写为

带扰动函数和控制因子的泛函

其中\varepsilon表示控制因子,\eta(x) 表示任意关于x的扰动函数,上式即表示实验泛函、最佳解泛函和扰动函数的关系

下面我们用图形来阐述变分法的思想:

变分法的思想

(1)绿色的曲线表示:任意一条关于x的扰动函数\eta(x)

(2)黑色的曲线表示:最佳解泛函

(3)红色的曲线是将绿色的扰动函数叠加到黑色的最佳解泛函上产生的新曲线,即表示实验泛函

由于绿色的扰动函数是任意的,则红色的实验泛函也是任意的,也就是说,红色的曲线是我们人为加上任意扰动而生成的任意实验泛函,相当于我们在最佳解泛函的基础上做了一系列的数学实验。从图中需要注意以下3点:

(1)dx和dy的意义是:当自变量x发生左右伸缩变化时,最佳解泛函的因变量y也发生上下伸缩变化

(2)δy的意义是:自变量x并没有发生任何变化,而最佳解泛函和实验泛函在因变量y上发生上下伸缩变化

(3)δy'同δy的意义一致

dx和dy叫做泛函的微分,而δy和δy'叫做泛函的变分,其表示要求解的最佳解泛函到任意实验泛函的差异,这就是变分法的思想

变分法的思想:给最佳解泛函叠加一组任意的绕动函数,从而产生一组新的实验泛函,且用控制因子控制扰动函数

用数学语言翻译变分法思想,即

变分法的思想

上述方程的左侧表示:任意的实验泛函;右侧表示:最佳解泛函和任意扰动函数的线性组合

而扰动函数η(x)具有下列性质:

(1)η(x)是连续函数

(2)η(x)的一阶和二阶导数均存在

(3)η(x)在泛函F的两个端点x1和x2处的函数值为0

虽然扰动函数η(x)是任意的,但是我们只要令控制因子趋近于0,即可让所有的实验泛函完全收敛到最佳解泛函上,这就是变分法的核心

变分法的核心:当控制因子趋近于0时,所有的实验泛函完全收敛到最佳解泛函上,即等效于实验泛函出现极值

用数学语言翻译变分法思想,即

新的泛函完全收敛到最佳解的泛函

我们将变分法的思想写入到积分泛函里,就得到一个关于控制因子 \varepsilon的函数I:

变分法积分

当控制因子趋近于0的时候,函数I出现极值,即其导数为0

函数I出现极值

至此我们得到一个非常重要的结论:我们要寻找的最佳解泛函,就是实验泛函出现极值的情况,而实验泛函出现极值的充要条件就是控制因子趋近于0!

五、推导欧拉方程式的第一种形式

利用变分法的思想,我们来求解积分函数I

变分法求解I

我们令

换元法

则积分函数I可写为

积分函数I

由变分法的极值条件,即

极值条件

根据积分符合下的微分法则:当微分与积分的上下限没有关系的时候,微分符号会直接穿过积分符号,将积分函数变为偏微分,即

积分符合下的微分法则

下面我们计算泛函F对\varepsilon的偏微分,即

泛函F对控制因子的偏微分

根据变分法的极值条件下控制因子趋近于0,得

u和v

将上面两个式子带入极值条件下的积分函数I,得

极值条件下的积分函数I

由于η(x)和η'(x)都是关于x的扰动函数,则有

扰动函数的导数

继续带入极值条件下的积分函数I,得

极值条件下的积分函数I

下面我们求解上式积分函数的第2个部分,即

研究部分

要求解这个积分,我们需要用到分部积分法,令

换元法

根据分部积分法,则

分部积分法求解研究部分

根据扰动函数η(x)的第3个性质,得

分部积分法求解研究部分

至此,我们解出了积分函数的第2个部分,带回极值条件下的积分函数I,得

极值条件下的积分函数I

要使得上述积分恒等于0,则必须有

欧拉方程式的第一种形式

上式就是变分法里非常著名的欧拉方程式,也是欧拉方程式的第一种表现形式

六、推导欧拉方程式的第二种形式

有了欧拉方程式的第一种形式,我们可以延伸推导出其第二种形式

首先计算出泛函F对x的全微分,得

泛函F对x的全微分

上式中出现y的二阶导数y'',我们希望在建立一个关于y''的方程,从而消去y''

为此,我们计算下列微分算子

待计算的微分算子

根据复合函数的微分法则,得

求解微分算子

发现上式出现y'',故由泛函F对x的全微分得y''的表达式为

y''的表达式

带入微分算子,化简得

化简微分算子

观察上式,中括号里完美的出现了欧拉方程式的第一种形式,我们继续化简得

化简微分算子

最后我们整理合并微分算子,得

欧拉方程式的第二种形式

上式就是欧拉方程式的第二种形式

由欧拉方程式的第二种形式,我们可以推理出一种特殊情况:

当出现

特殊情况条件

则可以得到

特殊情况

显然只有常数的导数为0,即

特殊情况

上述推理说明:当出现F对x的偏导数为0时,应用欧拉方程式的第二种形式将简化问题

七、变分法求解最速绛线轨迹方程

有了变分法和欧拉方程式,我们继续来求解最速降线的轨迹方程

最速降线的时间积分函数

我们发现在最速降线的时间积分函数里不显含x,即满足

F不显含x

则通过之前的推理,应用欧拉方程式第二种形式,化简得

应用欧拉方程式第二种形式化简

由变量分离法,化简得

变量分离法化简

由质点通过原点(0,0),则假设y的参数方程为

假设y的参数方程

带入化简结果,得

化简结果

等式两边同时积分,得

化简出x的参数

当θ=0度,x=0,则C=0

至此,我们推导出了最速降线的轨迹方程为

最速降线的轨迹方程

在数学上看,最速降线轨迹也是摆线的一部分

八、最速绛线轨迹方程的弧长和运动时间

有了最速降线的轨迹方程,我们可以顺便推导出其它物理性质

(1)弧长

最速降线轨迹微元为

轨迹微元

则其弧长微元为

弧长微元

则最速降线的总弧长S为

最速降线的总弧长

(2)时间

最速降线的运动时间为

最速降线的运动时间

从结果上可以证明:最速降线的运动时间T全部都是常量,即与物体的初始位置无关

则最速降线也称之为等时降线

九、ES6编程实战—Canvas动画模拟最速降线

最后我们用ES6 + Canvas模拟最速降线的运动过程

动画模拟最速降线

实验结果为

实验结果

案例代码见:ES6编程实战—Canvas动画模拟最速降线

数学建模思想
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