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推荐系统遇上深度学习(十二)--推荐系统中的EE问题及基本Bandit算法

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石晓文的学习日记
2018.06.09 16:47* 字数 2378

1、推荐系统中的EE问题

Exploration and Exploitation(EE问题,探索与开发)是计算广告和推荐系统里常见的一个问题,为什么会有EE问题?简单来说,是为了平衡推荐系统的准确性和多样性。

EE问题中的Exploitation就是:对用户比较确定的兴趣,当然要利用开采迎合,好比说已经挣到的钱,当然要花;而exploration就是:光对着用户已知的兴趣使用,用户很快会腻,所以要不断探索用户新的兴趣才行,这就好比虽然有一点钱可以花了,但是还得继续搬砖挣钱,不然花完了就得喝西北风。

2、Bandit算法

Bandit算法是解决EE问题的一种有效算法,我们先来了解一下Bandit算法的起源。
Bandit算法来源于历史悠久的赌博学,它要解决的问题是这样的:

一个赌徒,要去摇老虎机,走进赌场一看,一排老虎机,外表一模一样,但是每个老虎机吐钱的概率可不一样,他不知道每个老虎机吐钱的概率分布是什么,那么每次该选择哪个老虎机可以做到最大化收益呢?这就是多臂赌博机问题(Multi-armed bandit problem, K-armed bandit problem, MAB)。

怎么解决这个问题呢?最好的办法是去试一试,不是盲目地试,而是有策略地快速试一试,这些策略就是Bandit算法。

Bandit算法如何同推荐系统中的EE问题联系起来呢?假设我们已经经过一些试验,得到了当前每个老虎机的吐钱的概率,如果想要获得最大的收益,我们会一直摇哪个吐钱概率最高的老虎机,这就是Exploitation。但是,当前获得的信息并不是老虎机吐钱的真实概率,可能还有更好的老虎机吐钱概率更高,因此还需要进一步探索,这就是Exploration问题。

下面,我们就来看一下一些经典的Bandit算法实现吧,不过我们还需要补充一些基础知识。

3、基础知识

3.1 累积遗憾

Bandit算法需要量化一个核心问题:错误的选择到底有多大的遗憾?能不能遗憾少一些?所以我们便有了衡量Bandit算法的一个指标:累积遗憾:

这里 t 表示轮数, r表示回报。公式右边的第一项表示第t轮的期望最大收益,而右边的第二项表示当前选择的arm获取的收益,把每次差距累加起来就是总的遗憾。

对应同样的问题,采用不同bandit算法来进行实验相同的次数,那么看哪个算法的总regret增长最慢,那么哪个算法的效果就是比较好的。

3.2 Beta分布

有关Beta分布,可以参考帖子:https://www.zhihu.com/question/30269898。这里只做一个简单的介绍。
beta分布可以看作一个概率的概率分布。它是对二项分布中成功概率p的概率分布的描述。它的形式如下:

其中,a和b分别代表在a+b次伯努利试验中成功和失败的次数。我们用下面的图来说明一下Beta分布的含义:

上图中一共有三条线,我们忽略中间的一条线,第一条线中a=81,b=219。也就是说在我们进行了300次伯努利试验中,成功81次,失败219次的情况下,成功概率p的一个分布,可以看到,p的概率在0.27左右概率最大,但我们不能说成功的概率就是0.27,这也就是频率派和贝叶斯派的区别,哈哈。此时,我们又做了300次试验,此时在总共600次伯努利试验中,成功了181次,失败了419次,此时成功概率p的概率分布变为了蓝色的线,在0.3左右概率最大。

4、经典Bandit算法原理及实现

下文中的收益可以理解为老虎机吐钱的观测概率。

4.1 朴素Bandit算法

先随机试若干次,计算每个臂的平均收益,一直选均值最大那个臂。

4.2 Epsilon-Greedy算法

选一个(0,1)之间较小的数epsilon,每次以epsilon的概率在所有臂中随机选一个。以1-epsilon的概率选择截止当前,平均收益最大的那个臂。根据选择臂的回报值来对回报期望进行更新。

这里epsilon的值可以控制对exploit和explore的偏好程度,每次决策以概率ε去勘探Exploration,1-ε的概率来开发Exploitation,基于选择的item及回报,更新item的回报期望。

对于Epsilon-Greedy算法来首,能够应对变化,即如果item的回报发生变化,能及时改变策略,避免卡在次优状态。同时Epsilon的值可以控制对Exploit和Explore的偏好程度。越接近0,越保守,只想花钱不想挣钱。但是策略运行一段时间后,我们已经对各item有了一定程度了解,但没用利用这些信息,仍然不做任何区分地随机Exploration,这是Epsilon-Greedy算法的缺点。

4.3 Thompson sampling算法

Thompson sampling算法用到了Beta分布,该方法假设每个老虎机都有一个吐钱的概率p,同时该概率p的概率分布符合beta(wins, lose)分布,每个臂都维护一个beta分布的参数,即wins, lose。每次试验后,选中一个臂,摇一下,有收益则该臂的wins增加1,否则该臂的lose增加1。

每次选择臂的方式是:用每个臂现有的beta分布产生一个随机数b,选择所有臂产生的随机数中最大的那个臂去摇。

4.4 UCB算法

前面提到了,Epsilon-Greedy算法在探索的时候,所有的老虎机都有同样的概率被选中,这其实没有充分利用历史信息,比如每个老虎机之前探索的次数,每个老虎机之前的探索中吐钱的频率。

那我们怎么能够充分利用历史信息呢?首先,根据当前老虎机已经探索的次数,以及吐钱的次数,我们可以计算出当前每个老虎机吐钱的观测概率p'。同时,由于观测次数有限,因此观测概率和真实概率p之间总会有一定的差值 ∆ ,即p' - ∆ <= p <= p' + ∆。

基于上面的讨论,我们得到了另一种常用的Bandit算法:UCB(Upper Confidence Bound)算法。该算法在每次推荐时,总是乐观的认为每个老虎机能够得到的收益是p' + ∆。

好了,接下来的问题就是观测概率和真实概率之间的差值∆如何计算了,我们首先有两个直观的理解:
1)对于选中的老虎机,多获得一次反馈会使∆变小,当反馈无穷多时,∆趋近于0,最终会小于其他没有被选中的老虎机的∆。
2)对于没有被选中的老虎机,∆会随着轮数的增大而增加,最终会大于其他被选中的老虎机。

因此,当进行了一定的轮数的时候,每个老虎机都有机会得到探索的机会。UCB算法中p' + ∆的计算公式如下:

其中加号前面是第j个老虎机到目前的收益均值,后面的叫做bonus,本质上是均值的标准差,T是目前的试验次数,n是该老虎机被试次数。

为什么选择上面形式的∆呢,还得从Chernoff-Hoeffding Bound说起:

因此(下面的截图来自于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/32356077):

5、代码实现

接下来,我们来实现两个基本的Bandit算法,UCB和Thompson sampling算法。

5.1 UCB算法

代码中有详细的注释,所以我直接贴完整的代码了:

import numpy as np

T = 1000  # T轮试验
N = 10  # N个老虎机

true_rewards = np.random.uniform(low=0, high=1, size=N)  # 每个老虎机真实的吐钱概率
estimated_rewards = np.zeros(N)  # 每个老虎机吐钱的观测概率,初始都为0
chosen_count = np.zeros(N)  # 每个老虎机当前已经探索的次数,初始都为0
total_reward = 0


# 计算delta
def calculate_delta(T, item):
    if chosen_count[item] == 0:
        return 1
    else:
        return np.sqrt(2 * np.log(T) / chosen_count[item])

# 计算每个老虎机的p+delta,同时做出选择
def UCB(t, N):
    upper_bound_probs = [estimated_rewards[item] + calculate_delta(t, item) for item in range(N)]
    item = np.argmax(upper_bound_probs)
    reward = np.random.binomial(n=1, p=true_rewards[item])
    return item, reward


for t in range(1, T):  # 依次进行T次试验
    # 选择一个老虎机,并得到是否吐钱的结果
    item, reward = UCB(t, N)
    total_reward += reward  # 一共有多少客人接受了推荐

    # 更新每个老虎机的吐钱概率
    estimated_rewards[item] = ((t - 1) * estimated_rewards[item] + reward) / t
    chosen_count[item] += 1

5.2 Thompson sampling算法

Thompson sampling算法涉及到了beta分布,因此我们使用pymc库来产生服从beta分布的随机数,只需要一行代码就能在选择合适的老虎机。

np.argmax(pymc.rbeta(1 + successes, 1 + totals - successes)) 

参考文献

https://blog.csdn.net/z1185196212/article/details/53374194
https://blog.csdn.net/heyc861221/article/details/80129310
http://baijiahao.baidu.com/s?id=1559186004007512&wfr=spider&for=pc
https://www.zhihu.com/question/30269898
https://zhuanlan.zhihu.com/p/32356077

推荐系统理论及实战
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