随机规划模型与理论系列-001：报童问题

第一章随机规划模型

1.1 投资问题

1.1.1 报童问题

问题描述

$\quad\quad$ 这是一个关于卖报商人采购报纸的问题. 每天早上, 卖报商以批发价c(每份)向报社采购x份当天的报纸。如果当天的需求量d比x大，那么商人需要以价格d(每份)向报社再采购d-x份。如果当天的需求量d比x小，会触发库存代价，每份报纸的库存代价是h。一般来说， $d>c>0$ , $h>0$ 。总代价为：
$F(x,d)=cx+b[d-x]_++h[x-d]_+$
其中 $[x]_+=max\{x,0\}$

确定型优化问题

我们的目标是使得总代价最少。即可写为如下优化问题
$\min_{x\ge0} \quad F(x,d) \tag{1-1}$
显然，给定 $d$ ，上述问题的最优解为 $x^*=d$ 。

随机规划问题

$\quad\quad$ 现在我们考虑每天的需求 $D$ 是一个随机变量的情况。那么我们希望，采购 $x$ 份报纸时，代价的期望最小。即可写为如下优化问题
$\min_{x\ge0} \quad \{f(x):=\mathbb{E}[F(x,d)]\} \tag{1-2}$
$\quad\quad$ 该问题是两阶段问题（two-stage problem）的一个好例子。在第一阶段，报童不知道当天真实的需求 $d$ ，他需要做出决策购买多少份报纸，即 $x$ 的取值；在第二阶段，报童知道了当天的需求 $d$ ，若 $d>x$ 那么报童需要进行追索赔偿（recourse action），即以高价补购 $d-x$ 份报纸。

解析解

$\quad\quad$ 接下来的问题是如何求解上述优化问题。上述问题可以给出其解析解。记随机变量 $D$ 概率密度函数为 $q(z)$ ，累计概率密度函数为 $H(z)$ ，即 $H(z):=Pr(D\le z)$ 。显然对于任意的 $z\le 0$ ， $H(z)=0$ 。期望 $\mathbb{E}[F(x,d)]$ 可写为如下形式
$\begin{aligned} \mathbb{E}[F(x,d)]\} &=cx+b\int_{x}^{+\infty}(z-x)q(z)dz+h\int_{0}^{x}(x-z)q(z)dz \\ &=cx+ b\int_{0}^{+\infty}(z-x)q(z)dz-b\int_{0}^{x}(z-x)q(z)dz + h\int_{0}^{x}(x-z)q(z)dz\\ \end{aligned}$
其中 $b\int_{0}^{+\infty}(z-x)q(z)dz=b\mathbb{E}[D]-bxH(z)|_0^{+\infty}=b\mathbb{E}[D]-bx$ ，所以
$\mathbb{E}[F(x,d)]\}=cx+b\mathbb{E}[D]-bx-b\int_{0}^{x}(z-x)q(z)dz + h\int_{0}^{x}(x-z)q(z)dz$
记 $G(z)=\int H(z)dz$ ，则有
$\int (z-x)q(z)dz=-xH(z)+zH(z)-G(z)$ $\int (x-z)q(z)dz=xH(z)-zH(z)+G(z)$
那么
$\begin{aligned} -b\int_{0}^{x}(z-x)q(z)dz &=-b\{ -xH(z)+zH(z)-G(z) \}|_0^{x} \\ &=-b(-xH(x)+xH(x)-G(x)+G(0))\\ &=b(G(x)-G(0))\\ \end{aligned}$
$\begin{aligned} h\int_{0}^{x}(x-z)q(z)dz &=h\{ xH(z)-zH(z)+G(z) \}|_0^{x} \\ &=h(xH(x)-xH(x)+G(x)-G(0))\\ &=h(G(x)-G(0))\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbb{E}[F(x,d)]\}&=cx+b\mathbb{E}[D]-bx+b(G(x)-G(0))+h(G(x)-G(0) \\ &=b\mathbb{E}[D]+(c-b)x+(b+h)(G(x)-G(0) \\ &=b\mathbb{E}[D]+(c-b)x+(b+h)\int_{0}^{x}H(z)dz \\ \end{aligned}$

接着我们分析函数 $f(x):=\mathbb{E}[F(x,d)]$ 的一阶导数与二阶导数。

一阶导数

$\begin{aligned} {f}'(x)&=c+\mathbb{E}[\frac{\partial }{\partial x}( b[D-x]_++h[x-D]_+)]\\ &=c-b\Pr(D\ge x)+h\Pr(D\le x)\\ &=c-b(1-H(x))+hH(x) \\ &=c-b+(b+h)H(x) \\ \end{aligned}$

二阶导数

$\begin{aligned} {f}''(x)&=(b+h)H'(x) \\ &\ge 0 \\ \end{aligned}$

$\quad\quad$ 依据二阶导数，我们可以判断函数 $f(x):=\mathbb{E}[F(x,d)]$ 是一个凸函数。由 ${f}'(x)=0$ 可求得最优解 $x^*=H^{-1}(\kappa)$ ，其中 $\kappa =\frac{b-c}{b+h}$ 。累积分布函数的左 $\kappa$ 分位点定义为 $H^{-1}(\kappa)：=\inf \{t:H(t)\ge \kappa\}$ 。同理，累积分布函数的右 $\kappa$ 分位点定义为 $\sup \{t:H(t)\le \kappa\}$ 。若左右分位点相等，则最优解为左分位点或者右分位点；反之，最优解位于两个分位点之间。

$\quad\quad$ 假定在 $K$ 个场景（scenarios）中我们采集到 $D$ 的取值为 $d_1$ ， $d_2$ ，... $d_K$ 。那么此时经验累积分布函数是阶跃函数，最优解依然为 $\kappa$ 分位点（左或右），亦为某个 $d_k,k=1,2,...K$ 。

随机规划与确定型优化的关系

$\quad\quad$ 实际应用中很难得到解析解，对于有限场景（scenarios）的问题，我们通过改写期望 $\mathbb{E}[F(x,d)]$ 可以将该随机规划建模为一个确定型优化问题

$\mathbb{E}[F(x,d)]=\sum_{k=1}^{K}F(x,d_k)$
其中 $F(x,d_k)$ 可以写为

$F(x,d_k)=\max\{(c-b)x+bd_k,(c+h)x-hd_k\}$
我们可以将不确定规划写为线性规划形式，即
$\begin{aligned} \min_{x\ge0, v_1, v_2, ... v_K} \quad &=\sum_{k=1}^{K}p_{k}v_{k} \\ s.t.\quad &v_k \ge(c-b)x+bd_k, k=1,2,...K \\ \quad &v_k \ge(c+h)x-hd_k, k=1,2,...K\\ \end{aligned}$
值得注意的是上述分解形式。给定 $x$ ，随机规划的目标函数是 $K$ 个确定型优化问题（ $D=d_k$ ）目标函数的组合。也就是说，它将一个随机规划分解为 $K$ 个确定型规划。后面我们会看到，这种分解形式是两阶段问题的典型特点。

考虑最坏的情况

接下来我们假定每天的需求 $d\in[l,u]$ ，在已知需求上下界的情况下，思考如何决定每天的购买量 $x$ 使得最坏的情况下损失最少。即求解如下优化问题
$\min_{x\ge0} \quad \max_{d\in[l,u]}F(x,d) \tag{1-3}$
依据函数定义，可计算 $\max_{d\in[l,u]}F(x,d)$ ，如下
$\max_{d\in[l,u]}F(x,d)=\max\{F(x,l),F(x,u)\}$
考虑到 $F(x,l)$ 与 $F(x,l)$ 均为分片线性函数，可知 $\max_{d\in[l,u]}F(x,d)$ 依然为分片线性函数。当 $h(x-l)=b(u-x)$ 时，取最小值，即 $x^*=\frac {hl+bu} {h+b}$ 。

进一步的，假设我们还知道每天需求的平均值 $\bar{d}=\mathbb E[D]$ 。显然符合条件（指上下界与均值的值）的分布有很多种。我们思考如何决定每天的购买量 $x$ 使得在最坏的分布情况下期望损失最少。模型如下
$\min_{x\ge0} \quad \sup_{H\in \mathbb H} \mathbb E_H[F(x,d)] \tag{1-4}$

其中， $\mathbb H$ 表示所有符合条件的分布的累积分布函数的集合； $\mathbb E_H[F(x,d)$ 表示给定 $x$ 的情况下，需求 $D$ 的累积分布函数为 $H$ 时的期望损失。我们会在后面讨论如何求解该问题。

最后编辑于：2020.01.16 23:55:24

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