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一、实数的概念及分类

1、实数大小的比较

     (1)、数轴

      规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)

      解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用

2、非负数:正实数与零的统称(表为:x≥0)

      常见的非负数有:

      性质:若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0

3、 实数的分类

      有理数:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:-3,,0.231,0.737373...,,.

      无理数:无限不环循小数叫做无理数如:π,-,0.1010010001...(两个1之间依次多1个0).

      实数:有理数和无理数统称为实数

4、无理数

      在理解无理数时,要抓住"无限不循环"这一时之,它包含两层意思:一是无限小数;二是不循环.二者缺一不可.归纳起来有四类:

     (1)开方开不尽的数,如等;

     (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;

     (3)有特定结构的数,如0.1010010001...等;

     (4)某些三角函数,如sin60o等

      注意:判断一个实数的属性(如有理数、无理数),应遵循:一化简,二辨析,三判断.要注意:"神似"或"形似"都不能作为判断的标准.

5、数轴:

      规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。

      解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

      ①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴("三要素")

      ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示

      ③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数

      作用:A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系

6、倒数

     如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数

     即(1)、实数(≠0)的倒数是

     (2)、和互为倒数

     (3)、注意0没有倒数

7、有效数字

      一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。

8、相反数

      实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。即:(1)实数的相反数是.(2)和互为相反数

9、绝对值

      一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

      (1)、一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即:﹝另有两种写法﹞

      (2)、实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.

      (3)、几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零,例如:若,则,,.

       注意:│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目,只要其中有"││"出现,其关键一步是去掉"││"符号。

10、科学记数法

      把一个数写做的形式,其中,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。

    (1)、确定:是只有一位整数数位的数.

    (2)、确定n:当原数≥1时,等于原数的整数位数减1;;当原数<1时,是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)。

     例如:-40700=-4.07×105,0.000043=4.3×10ˉ5.

    (3)、近似值的精确度:一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位

    (4)、按精确度或有效数字取近似值,一定要与科学计数法有机结合起来

二、实数大小比较的几种常用方法

      (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。

      (2)求差比较:设a、b是实数,

      (3)求商比较法:设a、b是两正实数,

      (4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。

      (5)平方法:设a、b是两负实数,则。

11、有理数的运算

       加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。

      减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。

      乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

      除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

      乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。

12、实数的运算 (做题的基础,分值相当大)

      (1)、加法交换律

      (2)、加法结合律

      (3)、乘法交换律

      (4)、乘法结合律

      (5)、乘法对加法的分配律

13、实数的运算顺序

      (1)、先算乘方开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。

      (2)、(同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);(有括号时)由"小"到"中"到"大"。

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