业余数学家的大定理家喻户晓,你知道他还有个小定理吗?

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费马——不是数学专业的业余爱好者

皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差,他似乎对数论最有兴趣,亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为"业余数学家之王"。

费马涉足领域非常之广,解析几何、微积分、概率论、数论等等……

他独立于笛卡尔之外,发现了解析几何理论。

笛卡儿是从一个用

轨迹来寻找抛物线、曲线等的方程的,而费马则是从方程出发来研究轨迹的,这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。

微积分方面,费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法,对微积分做出了重大贡献。

概率论方面,一般概率空间的概念,是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看,有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时,它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。

光学方面,费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理,也叫最短时间作用原理。

对一个质点而言,其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值; 即对该质点所取的实际路径来说,必须是极大或极小。

费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时,其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。

这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是莱昂哈德·欧拉,竟用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。

这直接导致了拉格朗日的成就……

费马在数论上的贡献极其多,诸如:

(1)全部大于2的素数可分为4n+1和4n+3两种形式。

(2)形如4n+1的素数能够,而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。

(3)没有一个形如4n+3的素数,能表示为两个平方数之和。

(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边;4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边;类似地,4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。

(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。

(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和;它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和;5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和,以此类推,直至无穷。

(7)发现了第二对亲和数:17296和18416。

……………………

可能单看成就感觉不到其伟大,但……

距离第一对亲和数(220和284)诞生2500多年以后,才由费马同志提出第二对亲和数!

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今天的主角之一——费马大定理

n>2时且n是整数,则方程x^n+y^n=z^n没有满足的整数解。

这个是不定方程,它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年),证明的过程是相当艰辛的!

很有趣味的是,费马在读希腊数学家丢番图的《算术》一书时,在 有方程x^2+y^2=z^2的那页页边上,写下了费马大定理,且写下了耐人寻味的一番话:我确信这是不可能的,基于此,我发现了一个美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。

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不太出名的费马小定理

自从欧几里得证明了质数的无穷多后,关于质数的讨论从未停止,也永不会停止!

可是怎么找到下一个质数?

目前找到的最大的质数是: 2^74207281-1

我们无法写出所有的质数,那么有没有一种方法可以判断其是否是质数?或者通过观察已知的质数来确定下一个质数的位置?

费马提出了检验一个数是否是指数的方法:

检验数x是质数,则用2^x除以x后得到余数为2,则其是一个质数;否则反之。

比如一个数是17, 2^17=131072, 131072÷17=7710…… 2,

故17是质数。

一开始,数学家们认为这是一个正确的结论;

但是,实际上这一检验方法并不能得到所有的正确结论。

比如:341=11*31,不是质数,

而 2^341÷341的余数也是 2 !

这个例子在1819年才被人们发现。

费马其实指出了,这个方法不仅局限于 2 的幂,而是可以扩展到 n 的幂,对于任何比x小的正整数n,求得n^x÷x的余数,如果对于所有的结果都是n,则其是一个质数,否则其是一个假质数

比如,上面例子中的 341.

3^341÷341的余数不是3,而是168,所以其不是质数。

可是,我们不可能验证所有的可能性,这需要太多的计算了。

伟大的匈牙利质数奇才保罗埃尔德什评估出,要验证一个小于10^150的数字是否是质数,只要通过一个费马的检验程序,就能知道该数字为非质数的概率小于10^43分之一。

也就是说,检验一次验证就足以发现其是否为质数,当然,出错的几率还是存在的,但很小!

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