算子范数为什么是矩阵范数

矩阵范数\|A\|要满足四条性质:

  • (正定性)\|A\|\geqslant 0\|A\|=0\Longleftrightarrow A=O
  • (齐次性)\|\alpha A\|=|\alpha|\|A\|
  • (三角不等式)\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|
  • (相容性)\|AB\|\leqslant \|A\|\|B\|

矩阵的算子范数\|\cdot\|是根据某一个向量范数\|\cdot\|_\mathbb{V}诱导出来的,它等于\|A\|=\max_{v\neq 0}\frac{\|Av\|_\mathbb{V}}{\|v\|_\mathbb{V}}注意到\|v\|_v是非零标量,于是\|A\|=\max_{v\neq 0}\left\|A\frac{v}{\|v\|_\mathbb{V}}\right\|_\mathbb{V}=\max_{\|v'\|_\mathbb{V}=1}\|Av'\|_\mathbb{V}其中v'=v/\|v\|_\mathbb{V}

假设某种算子范数\|\cdot\|有定义(即对每一个A\|A\|都能确定唯一一个实数值,也就是max存在),我们现在证明它确实是一种矩阵范数

  • 算子范数非负是显然的,因为对应的向量范数非负。当\|A\|=0,当且仅当\forall v:\|v\|_\mathbb{V}=1,都有\|Av\|_\mathbb{V}=0,根据向量范数知道,这当且仅当都有Av=0,当且仅当A=O
  • 齐次性也是显然的
  • \|A+B\|=\max_{\|v\|_\mathbb{V}=1}\|(A+B)v\|_\mathbb{V},我们设其为\|(A+B)v'\|_\mathbb{V},这意味着\forall v:\|v\|_\mathbb{V}=1,都有\|(A+B)v\|_\mathbb{V}\leqslant \|(A+B)v'\|_\mathbb{V}。现在根据向量范数的三角不等式就有\|(A+B)v'\|_\mathbb{V}\leqslant\|Av'\|_\mathbb{V}+\|Bv'\|_\mathbb{V}然而注意到\|Av'\|_\mathbb{V}\leqslant\max_{\|v\|_\mathbb{V}=1}\|Av\|_\mathbb{V}=\|A\|(根据max的性质就可以得到此不等式),类似有\|Bv'\|_\mathbb{V}\leqslant \|B\|,于是三角不等式成立。
  • \|AB\|=\max_{\|v\|_\mathbb{V}=1}\|ABv\|_\mathbb{V}=\max_{\|v\|_\mathbb{V}=1}\left\|A\frac{Bv}{\|Bv\|_\mathbb{V}}\right\|_\mathbb{V}\cdot\|Bv\|_\mathbb{V},我们同样令其为\left\|A\frac{Bv'}{\|Bv'\|_\mathbb{V}}\right\|_\mathbb{V}\cdot\|Bv'\|_\mathbb{V},因为Bv'/\|Bv'\|_\mathbb{V}=1,所以令v''=Bv'/\|Bv'\|_\mathbb{V},我们就有\|Av''\|_\mathbb{V}\cdot\|Bv'\|_\mathbb{V},基于和三角不等式性质证明的同样理由,我们有\|Av''\|_\mathbb{V}\cdot\|Bv'\|_\mathbb{V}\leqslant \|A\|\cdot\|B\|,所以相容性成立。