图像的傅里叶变换

参考:

  1. 傅里叶变换学习
  2. 图像变换
  3. 第四章 图像变换
  4. 图像傅里叶变换
  5. 频谱特性研究

傅里叶定理指出:

  • 任何信号都可以表示成(或者无限逼近)一系列正弦信号的叠加。在一维领域,信号是一维正弦波的叠加,那么想象一下,在二维领域,实际上是无数二维平面波的叠加,$(x,y)$对应的是一维领域的 $t$,而灰度(Brightness Variation)就是其变量对应一维领域的振幅$F(t)$。

二维离散傅里叶变换:


幅度谱、相位谱和功率谱:

  • 幅度图:频域下每一点$(u,v)$的幅度 $F(u,v)$表示的是该频率的平面正弦波在叠加中所占的比例。

  • 相位图:相位图看上去不是很直观,但是与图像结构息息相关

  • 功率谱:
  • 通过相位图和幅度图,我们可以还原$F(u,v)$:

要点分析:

  • 那么(u,v)的物理含义是什么样的?平面波如下图所示,灰度变化快的频率高,也就是频率是指灰度在平面空间的梯度,这是很直观的描述,那么反应在图像上,就是图像中灰度变化比较快的地方,比如噪声,边缘,跳跃部分,背景以及慢变区域代表低频分量。 这里有一个理解的误区我需要指出一下,这个也是一开始困扰我的地方,就是正弦平面波叠加成图像时,并不是简单的叠加,而是不同相位的叠加。回忆一下一维的傅里叶变换,不同的正弦波的相位也是不同,不然怎么可能组成想要的信号波。所以理解相位很重要
  • 我们通常看到的傅里叶频谱图是图像中心化(移频)之后再去掉相位的图像,那么问题来了?在频谱图上,我们知道$(u,v)$的位置对应的是频率,在对于每一个$(u,v)$点的亮度又对应的什么?首先要明确,中心化之后,最低频移动到了中心,从图中可以看出来,中心点的能量最大,也就是比重最高。不知道我理解的对不对,看频谱图时要去原图割裂来看,然后再回到原图中区。

图像处理变换的目的:

通过对图像信息进行变换,使得能力保持但重新分配,有利于加工、处理或滤除不必要的信息,加强或提取感兴趣的部分或特征。

  1. 提取图像特征:如直流分量,目标边缘(高频分量)
  2. 图像压缩:蒸饺变换能量集中,对集中(小)部分进行编码
  3. 图像增强:低通滤波,平滑噪声,高通滤波,锐化边缘等

什么是空间频率:

  1. 对图像信号而言,空间频率是指单位长度内亮度也就是灰度做周期性变化的次数,也就是变化剧烈程度的指标,可以理解灰度在平面空间上的梯度。
  1. 我们对图像进行了二维傅里叶变换得到了频谱图,实际上是图像梯度的分布图,注意频谱图与原图像的各点不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也没有。图像上某一点与它领域点差异的强弱,实际上就是梯度,而该梯度就是对应于频谱图的某一点,而这个梯度也就是对应$(u,v)$某一点,但是这一点的大小或者说幅度值(亮暗)是由整体图像决定的,该梯度(该频率)对应的平面波的所占成分的大小。(能量的角度)
  1. 移频后频谱图的中心为原始图像的平均亮度,频率为0,从图像中心向外,频率增高,高亮度表明该频率特征明显。此外,注意到,频率图像中心明显的频率变化方向与原图像中的物方向垂直,也就是说如果原始图像中有多种水平分布的物,那么频率域图像在垂直方向的频率变化比较明显。

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