剑指offer第二版-总结:元素出现次数

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说明

本篇是在56.数组中只出现一次的两个数字56.2.数组中唯一只出现一次的数字两道题目之上进行的总结与提炼,最好先看懂以上两个题目再来看此总结。

问题描述

                        1.所有元素都出现了2次,除了一个出现1次
                               /                       \
2.所有元素都出现了2次,除了两个数各出现1次       3.所有元素都出现了k次,只有一个出现了1次
                                                       |
                                              4.所有元素都出现了K次,只有一个不是K次

概括分析

对于问题1

可用亦或解决。因为亦或有如下两条关键性质:
(1)a^b=b^a,意味着对一个无序数组进行亦或等价于对排序后的数组进行疑惑
(2)a^b^a=b,意味着出现两次的数字可以抵消掉。
因此,将数组中所有元素进行亦或,即可得到那个只出现一次的一个数字。

对于问题2

它可以通过分组转化为问题1,分析过程见56.数组中只出现一次的两个数字

对于问题3

可以使用一个长度为32的整型数组bitsum记录数据数组中所有元素的每个bit的状态,分析过程见56.2.数组中唯一只出现一次的数字

对于问题4

与问题3的区别在于没有告诉那个特殊的数字出现的次数。发现问题4与问题3的相似性,我们可以尝试借助问题3的解法解决问题4。

问题3的题目要求中的“三次”如果改成其他的数字,该解法依旧是有效的。或者说,该解法可以解决“除了一个数字出现一次外,其他数字都出现k次”这个问题,修改代码中的int k的数值即可。

更近一步,对于“除了一个数字出现M次外,其他数字都出现K次(0<M<K)”这个问题,其实此题的解法也是有效的,只需将

int result = 0;
for(int i=0;i<32;i++){
    result<<=1; 
    result+=bitSum[i]%k;
}

修改为如下代码即可。因为在那个特殊数字出现M次时,bitSum[i]%k不是等于0,就是等于M。

int result = 0;
for(int i=0;i<32;i++){
    result<<=1; 
    result+=bitSum[i]%k>0?1:0;
}

问题4更加凝练的解法:借助电路设计知识解决

为了便于理解,我们先从这个具体题目入手分析面试题56.2:数组中唯一只出现一次的数字

题目要求:

在一个整数数组中除了一个数字只出现一次外,其他数字都出现三次。找出那个出现一次的数字。

思路分析:

之前我们使用长度为32的int数组记录每个bit的状态,但其实是有很多空间浪费的,我们只需要记录出现次数为0次、1次或是2次这三个状态即可,因为3次、4次...等效于0次、1次...

那么int bitsumOld[32]可以替换为boolean bitsum[32][2]。也就是bitsumbitsumOld[i] 被替换成了bitsum[i][],bitsumOld中的每一个整数元素被换成了一个长度为2的boolean型数组,这样之后申请的空间仅为原来的1/16。

更进一步,我们将boolean bitsum[32][0]记为int a,boolean bitsum[32][1]记为int b,待计入的数字c的为1的二进制位会影响bitsum的值,其实也就是在影响a,b的值,只不过a,b将bitsum表示成了两个整数而已。而a,b的数值变化规则(即真值表)是

a的第i个bit  b的第i个bit     |  c的第i个bit   ->     a的第i个bit   b的第i个bit
--------------------------------------------------------------------------
0            0                 0                    0            0
0            1                 0                    0            1
1            0                 0                    1            0
0            0                 1                    0            1
0            1                 1                    1            0
1            0                 1                    0            0

上述表格可用卡诺图表示如下:


卡诺图表示.gif

此图表示的是a,b每个对应bit的变化,由于不同bit之间是互不影响的,因此可以整体表示,即
newa = a&~b&~c+~a&b&c
newb = ~a&b&~c+~a&~b&c

因此,面试题56.2:数组中唯一只出现一次的数字的另一种解法如下:

public class P278_NumberAppearOnce {
    public static int findNumberAppearOnce2(int[] data){
        int a = 0, b = 0,aTemp = 0;
        for(int c:data){
            aTemp = a&~b&~c | ~a&b&c;
            b = ~a&b&~c | ~a&~b&c;
            a = aTemp;
        }
        return b;
    }
}

与之前的解法相比,不仅节省空间,更大大降低了代码量。如果题目是所有数字出现了3次,除了一个数字例外,即不确定是1次还是2次,那么只需要将

return b

修改为

return a|b

如果题目中的3次更改为k次,那么需要⌈log2k⌉个int变量储存状态,然后绘制相应的真值表与卡诺图,写出逻辑表达式即可。

引用与参考

https://discuss.leetcode.com/topic/22821/an-general-way-to-handle-all-this-sort-of-questions/12
http://m.blog.csdn.net/smile_watermelon/article/details/47748227

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