组队赛 01 题解
感想
组队赛用的是11年福州赛区的网络赛。
这场的题目A、F、H、J是大家都能做的，剩下的题目就很坑，出现了Dancing Links、插头DP、神坑的计算几何和贪心+费用流的操作。最坑的是代码都很长……
赛后我只补了一题计算几何就不再补了。
A - Card Game
题意
有若干张卡牌，牌面为1~m，牌面为i的牌的张数为a_i。将牌打乱顺序，随机分成m堆，第i堆牌中有a_i张。游戏开始时，从第一堆中抽牌一张，上一张抽到的牌决定下一张牌从那一堆中抽取。如果上一张牌指向的牌堆是空的，游戏结束。
求游戏结束时所有牌堆都为空的概率。
思路
概率公式题。
这里有一个点要注意：因为必须要从第一堆中抽第一张牌，所以说，如果能抽光牌的话，那么最后一张牌必须是指向第一堆的。也就是说，最后一张抽到的牌必须是1。
为什么呢？我们来分析一下：首先，一共有a_1张1，那么如果抽光了牌，在抽牌过程中，1会被抽到a_1次，第一牌堆就会被指向a_1次。但是第一张牌是从第一堆中抽取的，那么第一堆中只会有a_1-1张牌可以被指向然后抽取。所以最后一个必须是a_1。
这一点有点难理解，但是理解了之后公式就出来了——概率就是全排列中最后一位是1的概率，那么就是 $a_1/\sum{a_i}$ 。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100+7;
void solve(int cas) {
int m, num[maxn], sum = 0; scanf("%d", &m);
for (int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d", num+i);
sum += num[i];
}
printf("Case %d: %.6lf\n", cas, 1.0*num[0]/sum);
}
int main(){
int t, cas = 1; scanf("%d", &t);
while (t--) solve(cas++);
}
C - Aircraft
题意
有若干个信号圈，飞机只能在信号圈飞行。现在飞机要从一个信号圈的圆心（起点）飞到另一个的圆心（终点），求最短路。
思路
计算几何。
很容易想到飞机的路径只会经过起点、信号圆的交点、终点这些点。讲这些点加入点集当中，然后求最短路即可。但是这里有个难点，就是判断这些点之间是否能够互相到达，即他们的连线是否完全被信号圈覆盖。在比赛时也是因为这个点所以没能过。
下面说说解决方案：判断一条线段是否在多个圆内，只要求这条线段和多个圆的交点，然后看交点之间的线段是不是都在某一个圆内。这个方法时间复杂度很高，但是好在数据量小。最终的时间复杂度大概O(n^5)左右。
补题的时候抄两三个板子，用spfa过了。代码足有三百行不到。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-10
int cmp(double x)
{
if(fabs(x)<eps) return 0;
if(x>0) return 1;
return -1;
}
double sqr(double x)
{
return x*x;
}
struct point
{
double x,y;
point(){};
point(double a,double b):x(a),y(b){};
void out()
{
printf("%lf %lf\n",x,y);
}
void input()
{
scanf("%lf%lf",&x,&y);
}
friend point operator +(const point &a,const point &b)
{
return point(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
friend point operator -(const point &a,const point &b)
{
return point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
friend bool operator ==(const point &a,const point &b)
{
return cmp(a.x-b.x)==0&&cmp(a.y-b.y)==0;
}
bool operator <(const point &a) const
{
if(x==a.x) return y<a.y;
return x<a.x;
}
friend point operator *(const point &a,const double &b)
{
return point(a.x*b,a.y*b);
}
friend point operator *(const double &a,const point &b)
{
return point(a*b.x,a*b.y);
}
friend point operator /(const point &a,const double &b)
{
return point(a.x/b,a.y/b);
}
double norm()
{
return sqrt(sqr(x)+sqr(y));
}
};
double det(const point &a,const point &b)
{
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
double dot(const point&a,const point &b)
{
return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
double dist(const point &a,const point &b)
{
return (a-b).norm();
}
point rotate_point(const point &p,double A)
{
double tx=p.x,ty=p.y;
return point(tx*cos(A)-ty*sin(A),tx*sin(A)+ty*cos(A));
}
point rotate(const point &p,double cost,double sint)
{
double x=p.x,y=p.y;
return point(x*cost-y*sint,x*sint+y*cost);
}
pair<point,point> crosspoint(point ap,double ar,point bp,double br)
{
double d=(ap-bp).norm();
double cost = (ar*ar + d*d -br*br)/(2*ar*d);
double sint=sqrt(1.0-cost*cost);
point v=(bp-ap)/(bp-ap).norm()*ar;
return make_pair(ap+rotate(v,cost,-sint),ap+rotate(v,cost,sint));
}
void circle_cross_line(point a,point b,point o,double r,point ret[],int &num) {
double x0 = o.x ,y0 = o.y;
double x1 = a.x, y1 = a.y;
double x2 = b.x, y2 = b.y;
double dx = x2-x1, dy = y2-y1;
double A = dx*dx+dy*dy;
double B = 2*dx*(x1-x0) + 2*dy*(y1-y0);
double C = sqr(x1-x0) + sqr(y1-y0)-sqr(r);
double delta = B*B-4*A*C;
if( cmp(delta) >= 0) {
double t1 = (-B - sqrt(delta)) / (2*A);
double t2 = (-B + sqrt(delta)) / (2*A);
if(cmp(t1-1)<=0 && cmp(t1)>=0)
ret[num++] = point(x1+t1*dx,y1+t1*dy);
if(cmp(t2-1) <=0 && cmp(t2)>=0)
ret[num++] = point(x1+t2*dx,y1+t2*dy);
}
}
struct rad
{
point c;
double r;
}ra[300];
int n;
map<point,int> mp;
int ID;
int que[123456];
point xx[100005];
struct node2
{
int v,next;
double w;
}e[123456];
int head[12345];
bool in[12345];
double d[12345];
int en;
void add(int a,int b,double c)
{
// printf("%d %d %lf\n",a,b,c);
e[en].v=b;
e[en].w=c;
e[en].next=head[a];
head[a]=en++;
e[en].v=a;
e[en].w=c;
e[en].next=head[b];
head[b]=en++;
}
void spfa(int st)
{
queue<int> q;
memset(in,0,sizeof(in));
for(int i=1;i<=ID;i++) d[i]=1000000000;
q.push(st);
in[st]=1;
d[st]=0;
int tmp;
while(!q.empty())
{
tmp=q.front();q.pop();
in[tmp]=0;
for(int i=head[tmp];~i;i=e[i].next)
{
if(d[e[i].v]>d[tmp]+e[i].w)
{
d[e[i].v]=d[tmp]+e[i].w;
if(!in[e[i].v])
{
in[e[i].v]=1;
q.push(e[i].v);
}
}
}
}
}
bool inra(point &x,point &y)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(dist(x,ra[i].c)<=ra[i].r+eps && dist(y,ra[i].c)<=ra[i].r+eps)
{
return true;
}
}
return false;
}
point my[12345];
bool cal(point &a,point &b)
{
my[0]=a;
int top=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
circle_cross_line(a,b,ra[i].c,ra[i].r,my,top);
}
my[top++]=b;
sort(my,my+top);
for(int i=1;i<top;i++)
{
if(!inra(my[i-1],my[i])) return false;
}
return true;
}
void solve(int cas) {
mp.clear();
scanf("%d",&n);
ID=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
ra[i].c.input();
scanf("%lf",&ra[i].r);
}
printf("Case %d: ",cas);
if(cal(ra[1].c,ra[n].c)) {
printf("%.4f\n",dist(ra[1].c,ra[n].c));
return;
}
en=0;
memset(head, -1, sizeof head);
int top = 0;
for(int i=1; i<=n; i++){
mp[ra[i].c]=++ID;
que[top++]=ID;
xx[ID] = ra[i].c;
for(int j=i+1; j<=n; j++) {
if(dist(ra[i].c,ra[j].c)>(ra[i].r+ra[j].r)+0.0) continue;
pair<point,point> tmp=crosspoint(ra[i].c,ra[i].r,ra[j].c,ra[j].r);
if(mp[tmp.first]==0) {
mp[tmp.first]=++ID;
que[top++]=ID;
xx[ID]=tmp.first;
}
if(mp[tmp.second]==0) {
mp[tmp.second]=++ID;
que[top++]=ID;
xx[ID]=tmp.second;
}
}
}
mp[ra[n].c]=++ID;
que[top++]=ID;
xx[ID]=ra[n].c;
for(int i=0;i<top;i++) {
for(int j=i+1;j<top;j++) {
if(cal(xx[que[i]],xx[que[j]])) {
add(que[i],que[j],dist(xx[que[i]],xx[que[j]]));
}
}
}
spfa(1);
if(d[ID]>=1000000000) puts("No such path.");
else printf("%.4f\n",d[ID]);
}
int main(){
int t, cas = 0; scanf("%d", &t);
while (t--) solve(++cas);
}
F - Random Sequence
题意
一个串完全由-1和1组成，每个位置出现哪个数是随机的。求固定长度的串最大子段和的绝对值的期望是多少。
思路
找规律离线打表。
求出了n=1...10的答案，然后找规律即可。
规律是：e_{2n} = e_{2n-1} + 1*(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*((2n-1)/2n)
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double table[2000];
void init() {
double x = 1.0;
table[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 1500; ++i) {
if (!(i&1)) x *= 1.0*(i-1)/(1.0*i);
table[i] = table[i-1]+x;
}
}
int main() {
int t, n, cas = 1;
scanf("%d", &t);
init();
while (t--) {
scanf("%d", &n);
printf("Case %d: %.6lf\n", cas++, table[n]);
}
}
J - Phage War
题意
最开始你有一个细胞，细胞会源源不断地生成噬菌体，一秒一个，细胞周围若干个细胞，占领这些细胞需要花费D_i个噬菌体，噬菌体到达这个细胞需要花费t_i的时间，求占领所有细胞的最短时间。
思路
贪心水题。
给所有细胞排个序，先给最远的细胞输送噬菌体。这样是效率最高的方式，遍历细胞时记录每一个细胞按顺序需要花费的时间，最后排个序，取最小值，就是答案。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+7;
struct cell {
int d, t;
} cells[maxn];
bool cmp (cell a, cell b) {
if (a.t == b.t) return a.d > b.d;
return a.t > b.t;
}
void solve(int cas) {
int ans = 0, n, dp[maxn]; scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; ++i)
scanf("%d%d", &cells[i].d, &cells[i].t);
sort(cells, cells+n, cmp);
int sum = cells[0].d;
dp[0] = cells[0].d + cells[0].t;
for(int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i] = sum + cells[i].d + cells[i].t;
sum += cells[i].d;
}
sort(dp, dp+n);
printf("Case %d: %d\n", cas, dp[n-1]);
}
int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
int t, cas = 1; scanf("%d", &t);
while (t--) solve(cas++);
}
