Linear Algebra 5:Matrix-Vector Products

https://www.youtube.com/watch?v=K2zzvo28X0g&feature=youtu.be

1.Matrix-Vector Products

矩阵和向量相乘,结果如下:

从行的角度来看矩阵和向量相乘:从行的角度看,矩阵A和向量x相乘,其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。

从列的角度来看矩阵和向量相乘:从列的角度看,矩阵A和向量x相乘,相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。

因此,无论从行角度还是列角度,矩阵A的列数要与向量x的维数相同。

我们可以把A看作Linear System,把向量x作为参数传入Linear System,得到Ax,如下:

2.Example

若输入的xx_{1} x_{2} 分别变为-2x_{1} 和0.5x_{2} b_{1} b_{2} 的值如何改变?

针对这个Linear System,可以从行的角度和列的角度进行分析,下面从列的角度分析:

将Linear System按列可分为两组A_{1}  =  \begin{pmatrix}  1   \\  -3  \\ \end{pmatrix}A_{2}  =  \begin{pmatrix}  4   \\  2  \\ \end{pmatrix}A_{1}对应x_{1}A_{2}对应x_{2},当x_{1}x_{2}分别变化时,即对应Linear System的对应列发生变化,如本例题新的A_{1} =  \begin{pmatrix}  -2   \\  6  \\ \end{pmatrix},A_{2} =  \begin{pmatrix}  -2   \\  1  \\ \end{pmatrix}。两向量相加得向量B= A_{1} +A_{2} = \begin{pmatrix}  0   \\ 7 \\ \end{pmatrix},故 \begin{pmatrix}  1  &  4   \\  -3 &   2  \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}  2*x_{1}    \\  0.5*x_{2}  \\ \end{pmatrix}=  \begin{pmatrix}  0 * b_{1}    \\  7 * b_{2}   \\ \end{pmatrix}

3.Properties

如果A和B都是m*n的矩阵,对所有的w,如果都有Aw=Bw,那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w,那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的,因此A=B。

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