问题

给定一个递增序列 $<a_1,a_2,\cdots,a_n>$
其中， $\forall i,j \in \{1,2,\cdots,n\}$ ，若 $i<j$ ，则 $a_i<a_j$ 。求它的递增全排列集合 $\mathbb P$ 。

所谓递增全排列 $\mathbb P$ 是这样一个有序集合：
${\mathbb P}=<p_1,p_2,\cdots,p_{n!}>$ 其中 $p_i(i=1,2,\cdots,n!)$ 是序列的一个全排列，并且 $\forall i,j \in \{1,2,\cdots,n!\}$ ，都有 $p_i<p_j$ ，表示 $p_j$ 的自然顺序大于 $p_i$ 。例如，对于递增序列 $<1,2,3>$ ， $123,231$ 都是它的一个全排列，且 $231$ 的自然顺序大于 $123$ 。
显然，对于 $\mathbb P$ ，一定有 $p_1=a_1a_2\cdots a_n$ ， $p_{n!}=a_n a_{n-1} \cdots a_1$ 。

分析

设 ${\mathbb P}=P(<a_1,a_2,\cdots,a_n>)$
我们定义加法运算 $a+b$ 表示两个序列 $a,b$ 的拼接。例如，若 $a=a_1a_2\cdots a_m$ ， $b=b_1b_2\cdots b_n$ ，则
$a+b=a_1a_2\cdots a_m b_1b_2\cdots b_n$
那么，自然可以定义一个序列 $a$ 与一个有序集合的加法运算
$a+{\mathbb P}=<a+p_1,a+p_2,\cdots,a+p_{n!}>$
这个式子进一步可以用求和符号简化为
$a+{\mathbb P}=<\sum_{i=1}^{n!}a+p_i>$

现在考虑函数 $P$ ，由于其产生一个递增全排列集合，显然前 $(n-1)!$ 项全排列的第一个元素是 $a_1$ ，第 $(n-1)!+1$ 到第 $2\cdot (n-1)!$ 项全排列的第一个元素都是 $a_2$ ，……，第 $(k-1)\cdot(n-1)!+1$ 到第 $k\cdot (n-1)!$ 项的第一个元素都是 $a_k$ 。这就意味着
$P(<a_1,a_2,\cdots,a_n>)=<\sum_{i=1}^n \left( a_i+P(<a_1,a_2,\cdots,a_{i-1},a_{i+1},\cdots,a_n>)\right)>$
由于剩余的序列 $<a_1,a_2,\cdots,a_{i-1},a_{i+1},\cdots,a_n>$ 仍然是有序的，因此对剩余的 $(n-1)$ 个序列产生递增的全排列集合就成为该问题的子问题，我们使用递归定义了它们。

现在考虑最基本的情况：

序列没有任何元素，显然 $P(<>)=\varnothing$
序列只有一个元素，显然 $P(<a>)=<a>$ ，即一个元素的全排列只有一种，就是它本身。

由此我们可以得到产生递增的全排列集合的算法。

算法

输入：一个有限的递增有序序列 $A=<a_1,a_2,\cdots,a_n>$
输出：序列 $A$ 递增全排列集合 $R$

初始化结果集 $R=\varnothing$ 。
若序列 $A$ 中仅有一个元素 $a$ ，或为空（此时 $a=\varnothing$ ），则 $R=R\cup \{<a>\}$ ，算法结束，返回 $R$ 。
否则，分别令 $i=1,2,\cdots,n$ ，对于 $a_i$ ，递归地使用该算法计算剩余的有序序列 $<a_1,a_2,\cdots,a_{i-1},a_{i+1},\cdots,a_n>$ 的递增全排列集合 $R'_i$ ，令 $R_i=a_i+R'_i$ ，由此我们得到了以 $a_i$ 为固定首位的全排列集合。从而归并到结果集合中 $R=R\cup R_i$ 。
由于 $A$ 中元素是有限的，所以算法的递归过程一定会到达2中的状态并终止，从而算法在有限步骤后一定会终止。

代码

使用JavaScript实现的代码如下

function generatePermutation(n){
    let seq=(length=>Array.from({length},($,i)=>i+1))(n),result=[];
    //Require substring of seq starting from start is a rigidly-ascending ordered sequence,
    //namely, for any i,j with start<=i<j<length, seq[i]<seq[j] holds.
    (function permutation(seq,result,start=0){
        //recursive function for all permutations of seq with a specified start index(counting from 0).
        //The permutation of single element is this element itself, so stop here.
        start===seq.length-1 && result.push(Array.from(seq));

        //Now,we can get all permutations by the following: 
        //  Permutation(<a1,a2,...,an>)
        //  =SUM_[from i=1 to n] ( ai + Permutation(<a1,a2,...,a_{i-1},a_{i+1},...,an>) )
        //  where a1<a2<...<an, and notation <...> stands for an ordered sequence.
        for(let i=start;i<n;i++){
            // to achieve this, we can move ai to the head, leaving the remnants,say,
            // <a1,a2,...,a_{i-1},a_{i+1},...,an> ,still ordered. Thus, we apply permutation
            // on these remnants, which turns to be a subproblem. 
            // NOTICE: if ascending ordered permutations are required, we use function move.
            // Otherwise, a simple swap can be used here.
            // 
            move(seq,i,start);      //swap(seq,i,start);
            permutation(seq,result,start+1);
            move(seq,start,i+1);    //swap(seq,i,start);
        }
    })(seq,result);
    return result;
}

//move seq[from] to before seq[to]
function move(seq,from,to){
    [[to,0,seq[from]],[from+(from>to),1]].forEach(arr=>seq.splice(...arr))
}

// swap seq[i1] with seq[i2]
function swap(seq,i1,i2){
    [seq[i1],seq[i2]]=[seq[i2],seq[i1]];
}

generatePermutation(4)

为了保证剩余序列的有序，使用move函数将a_i元素移动到数列的首位，此时对剩余序列（start=start+1开始的下标）进行递归排序。

注意，代码中还提供了一个交换函数swap，如果将generatePermutation中的move替换为swap，那么产生的结果集合仍然是全排列集合，但是它不是有序排列的集合。

递增全排列算法

递增全排列算法

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