组合数学-排列公式优化

一般的排列组合计数公式

分两种情况:

1.从N个不同的物品中取出K个物品,考虑其次序,有P[N][K]中情况,P[N][K] = N! / (N-K)!
2.从N个不同物品中取出K个物品,不考虑次序,有C[N][K]中情况,C[N][K] = N! / (K! * (N-K)!)

那么在写程序的时候,我们把公式变成代码的时候,可以有两种方法来编写代码优化计算组合数

1.及时相除

对于r个连续自然数(n-r+1),(n-r+2),... ,n,必定有一个数能被r整除,也必定有一个数能被r-1整除,以此类推。因此,在运算过程中,按照分母从大到小,及时进行分子与分母的相除运算,然后连乘r个整商。(字面意思可能不是很好理解,代码可能更好理解一些)

2.二项式系数公式

C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1] , C[i][0] = 1 ; (还记得嘛?高中学过的!)

这里给出两道题目,分别用两种方法运算组合数。

题目1:

给定N,K,计算有多少中方法从N个不同元素中不考虑顺序的选择K个元素。结果小于2^31(N>1, 0<= K <=N)

解析:

注意此题结果小于2^31,设计算法也要保证所有中间结果也要在这之内,不然会存不下,直接运用方法一即可,及时进行分子分母的相除运算。

代码:
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 solve(int64 n, int64 k)
{
    if (k > n / 2) //排列组合,减少枚举量
        k = n - k;
    int64 a = 1;  //分子
    int64 b = 1;  //分母
    for (int i = 1; i <= k; i++)  //进行K次运算
    {
        a *= (n + 1 - i);
        b *= i;        //连乘分母与分子
        if (a % b == 0)//做整商处理
        {
            a /= b;
            b = 1;
        }
    }
    return a / b;
}
int main()
{
    int64 n, k;
    cin >> n >> k;
    cout << solve(n, k) << endl;
    return 0;
}
题目2:

快速计算从N间物品中去K间物品,求取法?输入N和K,请您计算C = N! / (N-M)! * M!(5<=K<=N<=100 )提示:100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

解析:

根据二项式系数公式C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1]. 初始时,设C[i][0] = 1。然后双重枚举 i 和 j 直接递推即可。对于多组输入要求,可直接离线计算出所有的C[i][j],然后对于每一对输入直接输出即可。

代码:
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 c[110][110];
void solve()
{
    //离线计算范围内所有值
    for (int i = 0; i < 110; i++)
        c[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i < 110; i++)
        for (int j = 1; j < 110; j++)
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]; //递推关系
}
int main()
{
    solve(); //预处理
    int k, n;
    while (cin >> n >> k)
    {
        if (!n)
            break;
        cout << c[n][k]; //输出答案
    }
    return 0;
}

以上即是排列组合的计算公式两种优化方法,可以在理解板子的基础上做些题,实际的题目中还是要灵活运用。有不懂的地方私聊我,还请各位同学指出我的疏漏错误及不足之处,谢啦。
接下来的博客介绍几种特殊的排列组合数,敬请期待....

更新补充:多重集的排列数

问题背景:
现在有3个红球,2个白球,你要将这5个球排成一行,请问有多少种排列方式?
答案是10种。

这样的问题就称之为多重集的排列数,在这N个元素种a[i]重复的次数c[i]称为a[i]的重数。若有这样一个多重集S=(c[1]a[1],c[2]a[2].....c[k]*a[k])共有N个数字,那么这个多重集的排列数为n! / (c[1]! * c[2]! *...c[n]!)

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 151,829评论 1 331
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 64,603评论 1 273
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 101,846评论 0 226
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 42,600评论 0 191
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 50,780评论 3 272
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 39,695评论 1 192
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,136评论 2 293
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 29,862评论 0 182
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,453评论 0 229
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 29,942评论 2 233
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,347评论 1 242
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 27,790评论 2 236
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,293评论 3 221
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,839评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,448评论 0 181
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 34,564评论 2 249
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 34,623评论 2 249

推荐阅读更多精彩内容