隶属函数 | 柯西告诉你好、很好、非常好等于多少

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三金姐姐drydry
0.3 2019.02.15 14:55 字数 680

从一道国赛题说起···

2004年的全国大学生数学数模D题——公务员招聘.(附试题链接:2004年全国大学生数学建模竞赛赛题 - 豆丁网

如下图,复试成绩(专家组对应聘者特长的等级评分)是以ABCD四个等级给出的.

建模中,将等级量化是至关重要的一步.那么如何将这四个等级量化呢?这需要用到模糊数学中隶属度方法.

题目数据表

求解过程

不妨设相应评语集为{A(很好),B(好),C(一般),D(差)},对应的数值为5,4,3,2.根据实际情况选取如下所示偏大型柯西分布隶属函数

 f(x) =  \begin{cases}    [1+\alpha (x-\beta )^{-2}]^{-1},      & 1\leq x\leq 3\tag{1}\\    aln x +b,  & 3\leq x\leq 5  \end{cases}

由已知条件有f(5)=1,f(3)=0.8,f(1)=0.01,

于是求得\alpha =1.1086,\beta =0.8942,a=0.3915,b=0.3699,将其带入(1)式可得隶属函数.

经计算得f(2)=0.5245,f(4)=0.49126.则专家组对应应聘者各单项指标的评价{A(很好),B(好),C(一般),D(差)}的量化值为(1,0.9126,0.8,0.5245).

由此,评价就被量化出来了.值得一提的是,这个结果具有普适性.


“一切问题归根结底都是数学问题。”——笛卡尔

引入

这里用到的工具是隶属函数(membership function),也称为归属函数或模糊元函数,是模糊集合中会用到的函数,是一般集合中指示函数的一般化.

一元素的指示函数的值可能是0或是1.

一元素的隶属函数是0到1之间的数值,表示元素属于某模糊集合的“真实程度”(degree of truth).

EXX:如果集合S={体重超过120kg}.那么小明123kg,属于集合S中,其指示函数为1;小甘体重100kg(在此自欺欺人),不属于集合S中,其指示函数为0.但针对模糊集合,可能不会有如此明确的定义.假设微胖是一个模糊集合,可能体重120kg的人的隶属函数值为0.9,体重100公斤的人其隶属函数为0.8.

下面,给出数学上隶属函数的定义:

DEF:针对集合X,集合X上的隶属函数是将集合X映射到单位实数区间[0,1]的函数.

分析

上面求解过程中,用到的是偏大型柯西分布隶属函数.事实上,除了偏大型柯西分布隶属函数,还有偏小型和中间型.

QAQ:这个和柯西或者柯西分布有什么联系?

QAQ:为什么选择偏大型柯西分布隶属函数?

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