建堆时间复杂度的计算

建堆时间复杂度的计算

建堆的方式有两种,比较常见的建堆方式是自底向上,因为时间复杂度更低,为O(N).

  1. 自顶向下的建堆方式
    该建堆方式是从根节点开始,然后一个个的插入堆的末尾,向上进行调整。假设堆的高度为 h ,每层节点数为 n_i , 每层的高度定义为该层到堆的根节点的层数,设为 h_i .每层的调整的时间复杂度为 t(n_i) = n_i (h_i - 1) .
    则该建堆方式的时间复杂度为

\begin{array} \\ t(n) = \sum_{i=1}^{h}t(n_i) = \sum_{i=1}^{h} n_i (h_i - 1) \\ = \sum_{i=1}^{h}2^{i-1}·(i-1) = \sum_{i=0}^{h-1}2^i·i \end{array}

由于上述为差比数列之和,使用错位相减法即可求得结果,即

t(n) = (h-2)·2^{h}+2

假设该堆理想情况下为满二叉树,则存在h = log_2(n+1) ,即 n+1=2^h ,则有

t(n)=\{log_2(n+1)-2\}·(n+1)+2

即时间复杂度为
T(n) = nlogn

  1. 自底向上的建堆方式
    该建堆方式是从倒数第二层的节点(叶子节点的上一层)开始,从右向左,从下到上的向下进行调整。

同样的,假设该堆为满二叉树,堆高为 h 。同样的,假设每层高度为 h_i , 每层结点数为 n_i, 则建堆复杂度为 t(n) = \sum_{i=1}^{h-1}n_i·h_i , 则有

\begin{array} \\ t(n) = 1\times (h-1) + 2 \times (h-2) + 4 \times (h-3) + ... + 2^{h-2} \times 1 \\ =2^0\times (h-1) + 2^1 \times (h-2) + 2^2 \times (h-3) + ... + 2^{h-2} \times 1 \end{array}

同样的,该数列和为差比数列。因此,可以用错位相减法,得到时间复杂度为

t(n) = 2^h - h - 1 = n - log(n+1).

即,时间复杂度为 T(n) = n .

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