第三章 栈、队列和数组

栈和队列可以看作是特殊的线性表，它们是 运算受限的线性表。

栈

栈的示意图.png

栈的基本概念

栈是 只能在表的一端（表尾） 进行插入和删除的线性表。

允许插入及删除的一端（表尾）称为 栈顶。

另一端（表头）称为 栈底。

当表中没有元素的时候称为 空栈。

进栈：在栈顶插入一个元素。

出栈：在栈顶删除一个元素。

栈的特点：后进先出。所以栈被称为 后进先出线性表。

栈的用途：常用于 暂时保存有待处理的数据。

栈的基本运算：

1. 初始化栈：InitStack(S)
2. 判栈空：EmptyStack(S)
3. 进栈：Push(S,x)
4. 出栈：Pop(S)
5. 取栈顶：GetTop(S)

栈的顺序实现

顺序栈及常用名称

顺序栈：栈的顺序实现。

栈容量：栈中可存放的最大元素个数。

栈顶指针，top：指示当前栈顶元素在栈中的位置。

栈空：栈中无元素时，表示栈空。

栈满：数组空间已被占满，称栈满。

下溢：当栈空时，再要求做出栈运算，则称“下溢”。

上溢：当栈空时，再要求做进栈运算，则称“上溢”。

顺序栈的类型定义

const int maxsize = 6;

typedef struct seqStack
{
  DataType data[maxsize];
  int top;
} SeqStk;

// 定义一个顺序栈
SeqStk *s;

// 约定栈的第一个元素放在 data[1] 中

// 代表顺序栈s为空
s -> top == 0;
// 代表顺序栈s为满
s -> top == maxsize - 1;

栈的第一个元素放在 data[1] 中，从索引 1 开始。

顺序栈的运算

初始化：

int InitStack(SeqStk *stk)
{
  stk -> top = 0;
  return 1;
};

判栈空：

int EmptyStack(SeqStk *stk)
{
  if (stk -> top == 0) return 1;
  else return 0;
};

进栈：

int Push(SeqStk *stk, DataType x)
{
  if (stk -> top == maxsize - 1) {
    error("栈满");
    return 0;
  } else {
    stk -> top ++;
    stk -> data[stk -> top] = x;
    return 1;
  }
};

出栈：

int Pop(SeqStk *stk)
{
  if (stk -> top == 0) {
    error("栈空");
    return 0;
  } else {
    stk -> top --;
    return 1;
  }
};

取栈顶元素：

DataType GetTop(SeqStk *stk)
{
  if (EmptyStack(stk)) return NULLData;
  else return stk -> data[stk -> top];
};

双栈

双栈.png

栈的链接实现

栈的链接存储结构称为链栈，它是运算受限的单链表，插入和删除操作仅限制在表头位置上进行。栈顶指针就是链表的头指针。

链栈的类型定义

typedef struct node {
  DataType data;
  struct node *next;
} LkStk;

// 下溢条件
LS -> next == NULL;

链栈的运算

初始化：

void InitStack(LkStk *LS)
{
  // 最初的内存分配
  LS = (LkStk *) malloc(sizeof(LkStk));
  LS -> next = NULL;
};

判栈空：

int EmptyStack(LkStk *LS)
{
  if (LS -> next == NULL) return 1;
  else return 0;
};

进栈：

void Push(LkStk *LS, DataType x)
{
  LkStk *temp = (LkStk *) malloc(sizeof(LkStk));
  temp -> data = x;
  temp -> next = LS -> next;
  LS -> next = temp;
};

出栈：

int Pop(LkStk * LS)
{
  if (!EmptyStack(LS))
  {
    LkStk *temp = LS -> next;
    LS -> next = temp -> next;
    free(temp);
    return 1;
  }
  else return 0;
};

取栈顶元素：

DataType GetTop(LkStk *LS)
{
  if (!EmptyStack(LS)) retrun LS -> next -> data;
  else return NULLData;
};

队列

队列的基本概念

队列（Queue）也是一种运算受限的线性表。

队列是 只允许在表的一端进行插入，而且另一端进行删除 的线性表。

对头，front：允许删除的一端。

对尾，rear：允许插入的另一端。

队列的特点：先进先出（FIFO）。

队列的基本操作：

1. 初始化：InitQueue(Q)；
2. 判空：EmptyQueue(Q)；
3. 入队列：EnQueue(Q,x)；
4. 出队列：OutQueue(Q)；
5. 取队首：GetHead(Q)；

队列的顺序实现 - 循环队列

用一维数组作为多列的存储结构。

队列容量，maxsize：队列中可存放的最大元素个数。

队列指针，front：指向实际队头元素的前一个位置。

队尾指针，rear：指向实际队尾元素。

循环队列的类型定义

const int maxsize = 20;
typedef struct CycQueue
{
  DataType data[maxsize];
  int front, rear;
} CycQue;

循环队列CQ，约定：

1. 下溢条件（队列空）：CQ.front == CQ.rear；
2. 上溢条件（队列满）：(CQ.rear + 1) % maxsize == CQ.front；

浪费一个空间，队满时实际队列容量 = maxsize - 1

循环队列的运算

初始化：

void InitQueue(CycQue CQ)
{
  CQ.front = 0;
  CQ.rear = 0;
};

判队空：

int EmptyQueue(CycQue CQ)
{
  if (CQ.front == CQ.rear) return 0;
  else return 0;
};

入队列：

int EnQueue(CycQue CQ, DataType x)
{
  if ((CQ.rear + 1) % maxsize == CQ.front)
  {
    error('队列满');
    retrun 0;
  }
  else
  {
    CQ.rear = (CQ.rear + 1) % maxsize;
    CQ.data[CQ.rear] = x;
    return 1;
  }
};

出队列：

int OutQueue(CycQue CQ)
{
  if (EmptyQueue(CQ))
  {
    error('队列空');
    return 0;
  }
  else
  {
    CQ.front = (CQ.front + 1) % maxsize;
    retrun 1;
  }
};

取队首：

DataType GetHead(CycQue CQ)
{
  if (EmptyQueue(CQ)) return NULLData;
  else retrun CQ.data[(CQ.front + 1) % maxsize];
};

队列的链式实现 - 链队列

链式队列的定义

链式队列：用链表表示的队列，即它式限制尽在 表头删除 和 表尾插入 的单链表。

附设两指针：

1. 头指针，front：指向表头结点，队首元素结点为 front -> next；
2. 尾指针，rear：指向链表的最后一个结点（即队尾结点）；

链队列的类型定义

typedef struct LinkQueueNode
{
  DataType data;
  struct LinkQueueNode *next;
} LkQueNode;

typedef struct LkQueue
{
  LkQueue *front, *rear;
} LkQue;

规定：链队列空时，令rear指针也指向表头结点。

链队列下溢条件（链为空）：

LQ.front == LQ.rear 或 LQ.front -> next == NULL

链队列的运算

初始化：

void InitQueue(LkQue *LQ)
{
  LkQueNode *temp = (LkQueNode *) malloc(sizeof(LkQueNode));
  temp -> next = NULL;
  LQ -> front = temp;
  LQ -> rear = temp;
};

判队空：

int EmptyQueue(LkQue LQ)
{
  if (LQ.rear == LQ.front) return 1;
  else return 0;
};

入队列：

void EnQueue(LkQue *LQ, DataType x)
{
  LkQueNode *temp = (LkQueNode *) malloc(sizeof(LkQueNode));
  temp -> data = x;
  temp -> next = NULL;
  (LQ -> rear) -> next = temp;
  LQ -> rear = temp;
};

出队列：

int OutQueue(LkQue *LQ)
{
  if (EmptyQueue(LQ))
  {
    error('队空');
    return 0;
  }
  else
  {
    LkQueNode *temp = (LQ -> front) -> next;
    (LQ -> front) -> next = temp -> next;
    if (temp -> next == NULL) LQ -> rear = LQ -> front;
    free(temp);
    return 1;
  }
};

取队首：

DataType GetHead(LkQue LQ)
{
  if (EmptyQueue(LQ)) retrun NULLData;
  else return (LQ.front -> next) -> data;
};

数组

数组可以看成是一种特殊的线性表，其特殊在于，表中的数组元素本身也是一种线性表。

数组的逻辑结构和基本运算

数组是 线性表的推广，其每个元素由一个值和一个组下表组成，其中下标个数称为 数组的维数。

数组中各元素具有统一的类型，并且数组元素的下标一般具有固定的上界和下界。如二维数组

二维数组 可以看成是由 m 个行向量组成的向量，也可以看成是由 n 个列向量组成的向量。

数组一旦被定义，它的维数和维界就不再改变。因此，除了结构的初始化和销毁之外，数组通常只有 两种基本运算：

1. 读：给定一组下标，读取 相应的数据元素；
2. 写：给定一组下标，修改 相应的数据元素；

数组的存储结构 - 顺序存储结构

由于计算机的 内存结构是一维的，因此用一维内存来表示多维数组，就必须按某种次序将数组元素拍成一列序列，然后将这个线性序列存放在存储器中。

又由于对数组一般不做插入和删除操作，也就是说，数组一旦建立，结构中的元素个数和元素间的关系就不再发生变化。因此，一般都采用 顺序存储 的方法来表示数组。

寻址公式（以行为主存放）：

例如：二维数组 按 “行优先排序” 存储在内存中，假设每个元素占用k个存储单位。

元素 的存储地址应是数组的基地址加上排在 前面的元素所占用的单元数。所以可得：

数组例题1.png

数组例题2.png

矩阵的压缩存储

特殊矩阵

指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。

对称矩阵

在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：

且

如下，便是一个 5阶对称矩阵：

对称矩阵中的元素 关于主对角线对称，故 只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个堆成的元素共享一个存储空间，这样，能解决近一半的存储空间。

不失一般性，我们按 “行优先顺序” 存储主对角线（包括对角线）以下的元素。

元素总数为：

对称矩阵例题.png

下标变换公式：（以下三角表示）

用 i 代表第几行，用 j 代表第几列

若 i >= j，则 是在 下三角形 中，因此：

若 i < j，则 是在 上三角形 中，因为 ，因此：

三角矩阵

以主对角线划分，三角矩阵有：（在大多数情况下，矩阵常数为零）

1. 上三角：下三角中的元素均为常数；
2. 下三角：上三角中的元素均为常数；

稀疏矩阵

设矩阵A中有s个非零元素，若s远远小于矩阵元素的总数，则称A为稀疏矩阵。

稀疏矩阵的压缩存储的目的：节省存储空间。

由于非零元素的分布一般是没有规律的，因此在存储非零元素的同时，还必须同时记下它所在的行和列的位置 。反之，一个三元组 唯一确定了矩阵的一个非零元素。因此，稀疏矩阵可由表示非零元素的三元组及其行列数唯一确定。

稀疏矩阵的三元组.png