手指计数——长在身上的计算机

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美国人阿西莫夫说过,人类最早的「计算机」是手指,英语单词「Digit」既表示「手指」又表示「整数数字」。

——孙燕群《计算机史话》

文明始于计数

文明萌芽之前,人类的祖先还没有「数」的概念。在广袤的原始森林里,他们认识这棵树,也认识那棵树,唯独没有这是从哪到哪第几棵树的概念,更没有某一范围内总共有多少棵数的概念。

等到祖先们渐渐有了计数的意识,起初也局限于很小的数。他们用身上的特定部位去表示,比如用鼻子表示1、用眼睛或耳朵表示2。直到解放前,我国还有些文化发展比较迟缓的民族最多只能数到3或10,再往后数就数不清了,只将其统称为「多」。在国外,澳大利亚、巴布亚新几内亚和巴西的一些部落也没有定义2或3以上数字的名称。

人天生是不擅长计数的,潜意识里很容易把超过3的数目归类为「多」。

这就好比,在没有有意识统计的情况下,当有一两个人说你长得好看,你会记得有那么一两个人说你好看,而当有第三、第四个人这么说时,你的印象里一定是:好多人都说我长得好看!

使用身体部位计数

然而人类终究是要与较大的数打交道的,除了每天的吃喝拉撒,祖先们渐渐需要面对「打到了多少猎物」、「部落有多少人口」这类简单的统计问题。他们开始动用身上的各种部位,也终于出现了我们的主角——手指。

每个原始部落都约定了一套内部通用的规则,据统计,单在巴布亚新几内亚就发现了至少900多种不同的肢体计数方法。其中一种是这样的,用上半身的27个部位表示数字1~27。这在我们看来,却比直接使用数字麻烦得多。

原图来自《“啊哦呜”部落和“牟尼”部落》

当然应用最广、流传最久的,还是手指和脚趾,一指/趾就是1,双手就是10,一人就是20,为此史上有诸多民族曾使用二十进制。藏文中,「人」字有20的意思;法语中,80为quatre-vingts(4个20),90为quatre-vingt-dix(4个20加10)。

法语数字单词表(图片来自网络)

手指计数

而比起脚趾,手指用起来毕竟更加方便,也更具生命力(沿用至今),这也是人类默认使用十进制计数的根本原因。

相对简单的手指计数通常用一只手指示个位,另一只手指示十位,可以直白地表示出1~99。

右手表示个位数,左手表示十位数(图片来自《计算机技术发展史(一)》P17)
左右手并用可以表示任意一个二位数(图片来自《计算机技术发展史(一)》P17)

进阶一点,可以用上手指的分节。一种理论认为,古巴比伦人用一手的12个指节表示1~12,用另一手的五指表示12的1~5倍,从而可以表示1~60。这正对应着楔形文字中数字的六十进制记载方式。

图片来自《用身体来计数》

再进阶一点,手指的弯曲、指关节的方向所形成的各种手势都可以用来表示更大的数。比较典型的例子是1494年,由意大利数学家Luca Pacioli整理的一套手指计数法。

左侧两列为左手手势,表示1~90;右侧两列为右手手势,表示100~9000。左右动作是对称的。(图片来自《计算机技术发展史(一)》P20)

不得不感叹人类的智慧,在无法借助外部工具的时代,光靠手指就能计数到成百上千,甚至达到百万。现在我们在生活中时常也用手指示数,但基本只会从1数到10,折回来再从11数到20,以及一些表示6、8等特殊数字的简单手势。

然而仅仅能用手指表示数字并不稀奇,现在聋哑人使用的手语除了数还能表示无比丰富的含义,欲将手指称为计算工具,起码还要实现计算功能。手指确实可以进行一些简单的计算,配合以心算口诀,不但能做加减还能做乘除,我国古代就出现过成熟的「手算」方法。明代数学家程大位在其《算法统宗》一书中详细记载了由秦晋商人发明的「一掌金」算法[1],靠右手指点左手各指关节完成计算。

图片来自《算法统宗》卷十七

是可谓算法在手,天下我有,商人出门谈生意,两手往衣袖里一藏(那时的算法可是商业机密不能轻易外泄),袖里吞金,掐指一算,出账入账都清清楚楚了。有歌谣曰:

袖里吞金妙如仙,灵指一动数目全。无价之宝学到手,不遇知音不与传。

「手算」虽然方便,但能算的数值范围毕竟有限,还需配合以复杂的心算口诀。现在一些数学老师热衷于开发面向小朋友的手指速算法,确实比纯心算要快、要可靠,用来开发智力可以,实际应用起来就捉襟见肘了。而正是手指的这种局限性,促使着人类摆脱身体部位的束缚,一步步朝着更先进的计算工具迈进。

现今的手指计数

美国手势(原图来自维基「American manual alphabet」词条)
中国手势,这个再熟悉不过了。(原图来自维基「Chinese number gestures」词条)
而最令人震惊的,是程序员专用的二进制手势……(图片来自网络)

参考文献


  1. 有关「一掌金」的记述最早见于明代数学家徐心鲁1573年《盘珠算法》一书,此书乃我国史上第一部珠算算法专著,只可惜仅在日本内阁文库藏有原本,国内买不到也下载不到。

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