什么是堆
堆其实就是一棵完全二叉树，即若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边。
定义为：具有n个元素的序列（h1,h2,...hn），当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=h2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1） (i=1,2,...,n/2)时称之为堆。完全二叉树的根结点称为堆的顶。
可以注意到，堆仅保证元素和其子结点之间的关系，并不保证兄弟结点之间的关系。
常见的堆包括最大堆和最小堆。
最大堆
最大堆，顾名思义，堆顶的键值是所有堆结点键值中最大者。套用前面讲到过的规则，当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=h2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1） (i=1,2,...,n/2)，所有父结点的键值均大于子结点。
最小堆
由最大堆的定义，可以很容易的理解最小堆，即所有父结点的键值均小于子结点。
堆的内存形式
堆的内存形式有两种，一种是链表，一种是数组。
-
链表
heap_linked.png -
数组
heap_array.png
用数组保存堆，可以通过数组的下标来表达结点之间的位置关系，不需要额外的空间来储存指针信息，可以在很大程度上节约空间。
具体来说，对堆进行广度优先遍历（BFS），依次将结点键值放入数组。用数学的方式表达就是：
（1）父结点的下标：i
（2）左子结点下标：2 * i + 1
（3）右子结点下标：2 * i + 2
堆的操作
对于一个堆，常用的操作有两种，插入一个新的结点和删除堆顶。
插入新的结点
向堆插入一个结点，首先要保证堆依然是一个完全二叉树，即必须保证一行（也就是一层）构建完成才能继续添加下一层的结点。这就意味着完全二叉树新增加结点的位置是唯一固定的。对应数组来说，就是在数组的末尾增加一个元素。
进一步，对这个完全二叉树进行调整，即移动父结点和子结点的相互位置关系，使其满足条件而重新成为堆。这种调整可以简单的看成是一些列的上浮（shift-up）操作。可以看看下面这个简单的图。
可以看到，所谓的shift-up，就是将新插入的结点不停的和其父结点进行比较，如果子结点的键值大于（最大堆）/小于（最小堆）其父结点，那么就对二者进行交换，因为这里是数组，所以仅需要交换结点之间的键值，直到子结点的键值不大于（最大堆）/不小于（最小堆）其父结点。
删除堆顶
和插入新的结点类似，删除堆顶，还是首先要保证堆依然是一个完全二叉树，即必须保证一行（也就是一层）全部删除之后才能继续删除上一层的结点。这就意味着完全二叉树删除的结点的位置是唯一固定的。对应数组来说，就是删除数组末尾的元素。
删除堆顶的操作可以分为3步：
1. 将堆顶结点和末尾结点交换（仅交换键值）
2. 删除末尾结点
3. 对新的完全二叉树进行调整，使其重新称为堆
步骤1和2非常简单，执行完成之后，新的完全二叉树如图所示：
步骤3是问题的重点和难点，可以简单的看成是一些列的下沉（shift-down）操作。
对于某个结点（parent），所谓的shift-down，包括以下子步骤（这里以最大堆为例）：
3.1 选择子结点中键值较大的一个child_max
3.2 将child_max和parent进行比较，
3.2.1 如果parent>=child_max，则该完全二叉树已经满足堆的条件，操作结束。
3.2.2 如果parent<child_max，则交换parent和child_max
3.3 将child_max作为parent，回到3.1
以上面的堆为例：
1）此时在结点（15，2）中选择较大的一个和1做比较，即15 > 1的，所以15上浮到之前的20的结点处。
2）同第1步类似，找出（14，10）之间较大的和1做比较，即14>1的，所以14上浮到原来15所处的结点。
3）因为原来14的结点是叶子结点，所以将1放在原来14所处的结点处。
构建堆
构建堆有两种方式，一种是从无到有，也就是一个不断插入结点的过程；而另一种就是在原有完全二叉树的基础上，按照某种规则对结点进行调整。
从无到有
从原理上说，从无到有的构建堆比较简单，对于每一个新增结点，对其进行插入操作，结果必然是一个堆。
在原有的完全二叉树上进行调整
在原有的完全二叉树上进行调整，稍微复杂一些，可以从最后一个非叶结点开始，对每个非叶结点进行shift-down操作。
该操作的难点在于如何找到“非叶结点”和“最后一个非叶结点”。考虑非叶结点的定义，一个结点如果有至少一个子结点，那么就称其为非叶结点。因此，我们只要遍历所有的结点（根结点除外）的父结点，就可以遍历所有的非叶结点。知道了如何找到“非叶结点”，找出“最后一个非叶结点”的方法显而易见，最后一个叶结点（数组的末尾）的父结点就是“最后一个非叶结点”。
shift-down和shift-up
通过之前的章节，不难看出，堆操作的核心是两个步骤：shift-down和shift-up，更进一步，这两个操作都是递归的。
shift-down
/**
* shift down current node.
* If child is null, stop
* If child is not null,
* if node.val < max(child.val), shift down.
* else stop
*/
private static void shiftDown2(int curIndex){
int childIndexLeft = curIndex * 2 + 1;
int childIndexRight = curIndex * 2 + 2;
if(childIndexLeft > curEnd){
return;
}else{
int indexToBeCompared = childIndexLeft;
if(childIndexRight <= curEnd && heapArray[childIndexLeft].val < heapArray[childIndexRight].val){
indexToBeCompared = childIndexRight;
}
if(heapArray[curIndex].val < heapArray[indexToBeCompared].val){
swapNode(curIndex, indexToBeCompared);
shiftDown2(indexToBeCompared);
}
}
}
shift-up
/**
* shift up current node.
* If parent is null, stop
* If parent is not null,
* if node.val > parent.val, shift up.
* else stop
*/
private static void shiftUp(int curIndex){
int parentIndex = (curIndex-1)/2;
if(parentIndex < 0){
return;
}else{
if(heapArray[curIndex].val > heapArray[parentIndex].val){
swapNode(curIndex, parentIndex);
shiftUp(parentIndex);
}else{
return;
}
}
}
用途
不仅在面试中，堆在日常工作中也经常被使用。堆经常会被作为优先队列来使用，常见于例如任务调度，数组合并等场景。
Java实现
在java中，优先队列实现了堆的数据结构【1】。我之前的一篇文章Java 优先队列 （PriorityQueue）对优先队列进行了简单介绍，可以参考。
【1】https://docs.oracle.com/en/java/javase/11/docs/api/java.base/java/util/PriorityQueue.html
其他参考文章：
【2】最大堆（创建、删除、插入和堆排序）
【3】数据结构：堆（Heap）
【4】关于堆结构的详解
【5】构建堆的时间复杂度
【6】最大堆的插入/删除/调整/排序操作(图解+程序)（JAVA）
