计算机组成原理之计算篇

一、章节导学

章节导学

二、进制运算的基础

1. 进制概述

1.1 进制的定义

进位制是一种记数方式，亦称进位计数法或位值计数法
有限种数字符号来表示无限的数值
使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或底数

1.2 常见的进制

n=10 [0-9] 称为十进制

计算机喜欢二进制，但是二进制表达太长了
使用大进制位可以解决这个问题
八进制、十六进制满足2的n次方的要求

1024=0x400=0o2000=0b1000000000

2. 二进制运算的基础

正整数N，基数为r
$N=d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0=d_{n-1}r^{n-1}+d_{n-2}r^{n-2}+...+d_1r+d_0$
例1
$N=1024 \quad N=1*10^3+2*10^1+4$
例2
$N=10000000000 \quad 𝑁 = 1*2^{10}$

2.1 （整数）二进制转换十进制：按权展开法

$N=d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0=d_{n-1}r^{n-1}+d_{n-2}r^{n-2}+...+d_1r+d_0$
例1
$N=(01100101)=1*2^6+1*2^5+1*2^2+1=101$
例2
$N=(11101101)=1*2^7+1*2^6+1*2^5+1*2^3+1*2^2+1=237$

2.2 （整数）十进制转换二进制：重复相除法

重复相除法

例1

image.png

2.3 （小数）二进制转换十进制：按权展开法

$N=0.d_{-1}d_{-2}...d_{-n}=d_{-1}r^{-1}+d_{-2}r^{-2}+...+d_{-n}r^{-n}$

例1
$N=0.11001=1*2^{-1}+1*2^{-2}+1*2^{-5}=0.78125=\frac{25}{32}$
例2
$N=0.01011=1*2^{-2}+1*2^{-4}+1*2^{-5}=0.34375=\frac{11}{32}$

2.4（小数）十进制转换二进制：重复相乘法

重复相乘法

例1

重复相乘法

三、有符号数与无符号数

问：怎么判断他是数字位还是符号位呢？
答：使用0表示正数，使用1表示负数

1. 原码表示法

1.1 原码表示法

使用0表示正数、1表示负数
规定符号位位于数值第一位
表达简单明了，是人类最容易理解的表示法

1.2 原码表示法的问题

0有两种表示方法：00、10
原码进行运算非常复杂，特别是两个操作数符号不同的时候

判断两个操作数绝对值大小
使用绝对值大的数减去绝对值小的数
对于符号值，以绝对值大的为准

1.3 希望的改进

希望找到不同符号操作数更加简单的运算方法
希望找到使用正数代替负数的方法
使用加法操作代替减法操作，从而消除减法

四、二进制的补码表示法

1. 补码的定义

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {2^n>x\geq0}\\ 2^{n+1}+x && {0>x\geq-2^n}\\ \end{array} \right.$

例子1： $n=4$ ， $x=13$ ，计算x的二进制原码和补码

原码： $x=0,1101$ ，补码： $x=0,1101$

例子2： $x=-13$ ，计算 $x$ 的二进制原码和补码

原码： $x=1,1101$ ，补码： $2^{𝑛+1} + 𝑥 = 2^{4+1} − 13 = 100000 − 1101 = 10011$
补码： $x=1,0011$

例子3：例子3： $x=-7$ ，计算 $x$ 的二进制原码和补码

原码： $x=1,0111$ ，补码： $2^{𝑛+1} + 𝑥 = 2^{4+1} − 7 = 100000 − 0111 = 11001$
补码： $x=1,1001$

例子4： $x=-1$ ，计算 $x$ 的二进制原码和补码

原码： $x=1,0001$ ，补码： $2^{𝑛+1} + 𝑥 = 2^{4+1} − 1 = 100000 − 0001 = 11111$
补码： $x=1,1111$

五、二进制的反码表示法

1. 引进补码的目的

减法运算复杂，希望找到使用正数替代负数的方法
使用加法代替减法操作，从而消除减法
在计算补码的过程中，还是使用了减法！！
反码的目的是找出原码和补码之间的规律，消除转换过程中的减法

2. 反码的定义

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {2^n>x\geq0}\\ (2^{n+1}-1)+x && {0>x\geq-2^n}\\ \end{array} \right.$

例子1： $x=-13$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码

原码： $x=1,1101$ ，反码： $(2^{𝑛+1}-1) + 𝑥 = (2^{4+1}−1)-13 = 011111− 1101 = 10010$
反码： $x=1,0010$

例子2：例子3： $x=-7$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码

原码： $x=1,0111$ ，反码： $(2^{𝑛+1}-1) + 𝑥 = (2^{4+1}-1) − 7 = 011111− 0111 = 11000$
反码： $x=1,1000$

反码

负数的反码等于原码除符号位外按位取反
负数的补码等于反码+1

例子1： $x=-7$ ，计算x的二进制原码和反码和补码

原码： $x=1,0111$ 反码： $x=1,1000$ 补码： $x=1,1001$

例子2： $x=-9$ ，计算x的二进制原码和反码和补码

原码： $x=1,1001$ 反码： $x=1,0110$ 补码： $x=1,0111$

原码，反码，补码

六、小数的补码

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {1>x\geq0}\\ 2+x && {0>x\geq-1}\\ \end{array} \right.$

例子1： $x=\frac{9}{16}$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码和补码

原码： $x=0,0.1001$ 反码： $x= 0,0.1001$ 补码： $x= 0,0.1001$

例子2： $x=-\frac{11}{32}$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码和补码

原码： $x=1,0.01011$ 反码： $x=1,1.10100$ 补码： $x=1,1.10101$

七、定点数与浮点数

1. 定点数的表示方法

小数点固定在某个位置的数称之为定点数

定点数

非纯整数或纯小数

2. 浮点数的表示方法

2.1 为什么使用浮点数

计算机处理的很大程度上不是纯小数或纯整数
数据范围很大，定点数难以表达

2.2 浮点数的表示方法

浮点数的表示格式

$123450000000 = 1.2345 × 10^{11}$
1.2345：尾数
10：基数 11：阶码

$N= S \times r^j$
S：尾数 r：基数 j：阶码

浮点数

尾数规定使用纯小数

$11.0101 = 0.110101 × 2^{10}$
$11.0101 = 0.0110101 × 2^{11}$

浮点数

浮点数的表示范围

假设阶码数值取 $m$ 位，尾数数值取 $n$ 位
$N=S \times r^j$

阶码能够表示的最大值： $2^m-1$ ，考虑符号位： $[-(2^m-1),2^m-1]$

尾数能够表示的最大值： $1-2^{-n}$
尾数能够表示的最小值： $2^{-n}$
尾数表示范围： $[2^{-n},1-2^{-n}]$ ，考虑符号位： $[-(1-2^{-n}),-(2^{-n})][2^{-n},1-2^{-n}]$

阶码表示范围： $[-(2^m-1),2^m-1]$
尾数表示范围： $[-(1-2^{-n}),-(2^{-n})][2^{-n},1-2^{-n}]$

image.png

单精度与双精度浮点数

单精度浮点数：使用4字节、32位来表达浮点数(float)
双精度浮点数：使用8字节、64位来表达浮点数(double)

2.3 浮点数的规格化

尾数规定使用纯小数
尾数最高位必须是1

正确： $11.0101 = 0.110101 × 2^{10}$
错误： $11.0101 = 0.0110101 × 2^{11}$
错误： $11.0101 = 0.00110101 × 2^{100}$
错误： $11.0101 = 1.10101 × 2^1$

例子1：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数 $\frac{13}{128}$ 表示为二进制浮点数。

原码=反码=补码： $x = 0.0001101000$
浮点数规格化： $x = 0. 1101000 * 2^{−11}$
尾数为 $1101000000$ ，尾数符为 $0$ ，阶符为 $1$ ，阶码为 $0011$

表示方法

例子2：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数−54表示为二进制浮点数。

原码： $x = 1,110110$
浮点数规格化： $x = −0. 110110 ∗ 2^{110}$
尾数为 $1101100000$ ，尾数符为 $1$ ，阶符为 $0$ ，阶码为 $0110$
尾数反码 $0010011111$ ，尾数补码 $0010100000$

表示方法

3. 定点数与浮点数的对比

当定点数与浮点数位数相同时，浮点数表示的范围更大
当浮点数尾数为规格化数时，浮点数的精度更高
浮点数运算包含阶码和尾数，浮点数的运算更为复杂
浮点数在数的表示范围、精度、溢出处理、编程等方面均优于定点数
浮点数在数的运算规则、运算速度、硬件成本方面不如定点数

八、定点数的加减法运算

数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉
溢出判断，单符号位表示变双符号位，双符号位产生的进位丢弃，结果的双符号位不同则表示溢出

1. 整数加法

$A[补] + B[补] = [A+B][ 补] (𝑚𝑜𝑑2^{𝑛+1})$

例子1：A=-110010， B=001101，求A+B

$A[补] = 1,001110$
$B[补] = B[原] = 0,001101$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] =1,011011$
$A + B = −100101$

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

$A[补] = 1,01110000$
$B[补] = 1,10110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] =1,00100000$
$A + B =-11100000$

2. 小数加法

$A[补] + B[补] = [A+B][ 补] (mod2)$

例子2：A=-0.1010010， B=0.0110100，求A+B

$A[补] = 1,1.0101110$
$B[补] = B[原] = 0,0.0110100$
$A 补 + B 补 = (A + B)[补]=1,1.1100010$
$A + B = -0.0011110$

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

$A[补] = 1, 01110000$
$B[补] = 1, 00110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] = 0,10100000$
$A + B = 10100000$
发生了溢出

3. 判断溢出

3.1 双符号位判断法

单符号位表示变成双符号位：0=>00,1=>11
双符号位产生的进位丢弃
结果的双符号位不同则表示溢出

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

$A[补] = 11, 01110000$
$B[补] = 11, 00110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] = 10,10100000$
双符号位不同，表示溢出

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

$A[补] = 11,01110000$
$B[补] = 11,10110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] =11,00100000$
双符号位相同，没有溢出

4. 整数减法

$A[补] − B[补] = 𝐴 + (−𝐵)[补](𝑚𝑜𝑑2^{𝑛+1})$

-B[补]等于B[补]连同符号位按位取反，末位加一
B[补] = 1,0010101，(−B)[补] = 0,1101011

例子5：A=11001000， B=-00110100，求A-B

$A[补] = A[原] = 0,11001000$
$B[补] = 1,11001100$
$(−B)[补] = 0,00110100$
$A[补] − B[补] = A + (−B) [补]$
$A + (−B) 补 = 0,11111100$
$A − B = 111111100$

5. 小数减法

$A[补] − B[补] = 𝐴 + (−𝐵)[补](𝑚𝑜𝑑2)$

九、读点书的加减法运算

$x=S_x\times r^{j_x}$
$y=S_y\times r^{j_y}$

对阶
尾数求和
尾数规格化
舍入
溢出判断

$x=0.1101 \times 2^{01}$
$y=(-0.1010) \times 2^{11}$

1. 对阶

対阶的目的是使得两个浮点数阶码一致，使得尾数可以进行运算

浮点数尾数运算简单
浮点数位数实际小数位与阶码有关
阶码按小阶看齐大阶的原则

对阶

$x=0.001101 \times 2^{11}$
$y=(-0.1010) \times 2^{11}$

对阶

2. 尾数求和

使用补码进行运算
减法运算转化为加法运算：A - B = A + (-B)

$x[原]=00.0011 \quad x[补]=00.0011$
$y[原]=00.1010 \quad y[补]=11.0110$

$S=(x+y)[补]=11.1001$

尾数求和

3. 尾数规格化

对补码进行规格化需要判断两种情况：S>0和S<0（符号位与最高位不一致）
$S[补]=00.1xxxxxx(𝑆 > 0)$
$S[补] = 11.0xxxxxx(𝑆 < 0)$
如果不满足此格式，需要进行左移，同时阶码相应变化，以满足规格化

$S=(x+y)[补]=11.1001$
$S=(x+y)[补]=11.(1)0010$ （左移）

尾数规格化

$S=(x+y)[补]=11.0010$
$S=(x+y)[原]=-0.1110$
$(x+y)[原]=-0.1110 \times 2^{10}$

4. 尾数规格化(右移)

一般情况下都是左移
双符号位不一致下需要右移(定点运算的溢出情况)
右移的话则需要进行舍入操作

4.1 舍入

“0舍1入”法（二进制的四舍五入）

$S[补] = 10.10110111 \quad S[补] = 11.01011011(1)$

舍入

可能溢出

$S[补] = 01.11111111 \quad S[补] = 00.10000000(1)$

两次右规

4.2 溢出判断

定点运算双符号位不一致为溢出
浮点运算尾数双符号位不一致不算溢出（因为尾数双符号位可以进行右规）
浮点运算主要通过阶码的双符号位判断是否溢出（如果规格化后，阶码双符号位不一致，则认为是溢出）

例子： $x = 0.11010011 × 2^{1101}，𝑦 = 0.11101110 × 2^{1100}$ ，假设阶码4位，尾数8位，计算x + y

对阶

尾数求和

尾数求和

判断溢出

$x+y[原]=x+y[补]=0.10100101 \times 2^{1110}$

5. 浮点数加减法运算

image.png

九、浮点数的乘除法运算

1. 浮点数乘法

浮点数乘法

2. 浮点数除法

浮点数除法

image.png

例子： $𝑥 = 0.11010011 × 2^{1101}，𝑦 = 0.11101110 × 2^{0001}$ ，假设阶码4位，尾数8位，计算x * y

$x \times y = (S_x \times S_y) \times r^{(j_x+j_y)}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = (0.11010011 × 0.11101110) × 𝑟^{1101+0001}\\ \qquad \qquad \qquad \quad = 0.11000100(保留八位) × 𝑟^{1110}$

十、巩固习题

1.除了十进制以外，这个世界上常见的还有什么进制？

二进制、八进制、十二进制、二十进制、六十进制。

2.二进制一般使用什么方法转换成十进制？

整数：按权展开法。

3.十进制一般使用什么方法转换成二进制？

整数：重复相除法，小数：重复相乘法。\

4.计算机直接使用原码计算有什么缺点？

0有两种表示方法，减法运算复杂。

5.请计算12、124、1023、-1、-127的二进制原码。

12(0,00001100)、124(0,01111100)、1023(0,1111111111)、-1(1,00000001)、-127(1,01111111)。

6.计算机的补码解决了什么问题？

相比原码的运算过程（特别是减法），补码对于计算机而言运算更加简单。

7.请计算12、124、1023、-1、-127的补码，并将其使用32位定点表示法和32位浮点表示法(1位符号位、8位阶码、23位数值位)表示出来。

8.你是否可以使用代码实现一个通用的计算器，可以将二进制数转换为十进制数，把十进制数转换为二进制数。

9.计算机为了判断运算溢出使用了什么方法？

双符号位判断法。当双符号位不一致表示溢出。

10.什么是溢出？什么是上溢？什么是下溢？

溢出即计算机无法表示数值。上溢是指数值绝对值大于表示范围，下溢是指计算机无法提供有效精度表示数值。

11.对于64位浮点型(double)，一般都是采用最高位为符号位，次高11位为指数位，其次52位为尾数，试求出double型所能表达的最大值和最小值。

12.浮点数相比定点数，有什么优势？有什么不足的地方。

浮点数可以表示更大的数据范围，但是运算耗时更长。

13.浮点数之间做加减法运算需要几个步骤？每个步骤都是必须的吗？为什么？

浮点数加减法需要经过以下几个步骤：对阶、尾数求和、尾数规格化、舍入、溢出判断。对阶是为了使得尾数可以进行运算，阶码不一致尾数运算无效，尾数规格化、舍入是为了正确存储结果，溢出判断是为了判断运算过程是否有误，如果溢出将会发出信号进行溢出处理。

14.x=0.1101^1001, y=0.1011^110，请计算x+y的值，x-y的值。

x+y=0.1110011^{1001，x-y=0.1011101}1001。

15.x=0.1101^111, y=-0.1111^1101，请计算x+y的值，x-y的值。

x+y=-0.1110110011^{1101，x-y=0.1111001101}1101。