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《数学》读后感

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鸸鹋先生
2015.11.05 20:18* 字数 3025

近日,读完了《牛津通识读本——数学》一书,感触颇多.作者蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)是1998年的菲尔兹奖得主,他对数学的深刻见解,解开了我多年的困惑.我曾在怀疑中裹足不前,远离了数学,现在则懊恼不已.下面就结合高尔斯的观点,随便聊一下我的感想。


Timothy Gowers

数学有什么用?

本科时,我曾吃惊地看到一个数学系大四女生在座谈会上向老师提问:“我们学数学有什么用? ” 她显然是在说,我能利用数学得到一个什么样的工作?能赚大钱吗?

高校教师向学生宣扬数学时,一般会强调数学在其他学科的应用.比如说,做气象预测,要懂微分方程;学好复变函数吧,工程领域都在用.或者是秀一下数学艺术.比如,幻灯片上放着诸如Julia集之类的分形图片,学生看罢,惊叹之余,低头继续抠手机.实在不行了,老师会说:“考研、出国总要用到数学吧?” 但几年过去了,还是有学生问:“数学有什么用?” 如此悲哀…

症结在哪里?


天书与挖掘机

原因是大家对数学的态度差异太大.数学科学在教师眼中,是一个伟大的理论体系,几乎渗透所有其他自然科学,有用到给他们提供了一个饭碗;而在这些提问题的学生眼里,数学只不过跟蓝翔技校的挖掘机一样,学完去找份对口工作.这部分学生,关注的是数学兑换人民币的能力.但数学,尤其是如数论这样的纯数学,并不直接具备这样的能力.显然, 不会说解一个微分题,天上就掉下100块钱,再做个积分题,又掉100块钱.

与之相反,中国又有很多的数学“民科”,空费大量的时间,试图解决哥德巴赫猜想(虽然未必是数学界最关注的).学生的不热情与民科的热情,反差如此之大.前者不具备专业知识,却打了鸡血般地热衷;后者正在学习专业的数学,却如闹离婚的夫妻那般冷漠.

除了态度问题,还有一个问题:有些学生是在学数学吗?我曾见人背诵了一夜的定理,在第二天的期末考试中取得了良好成绩。之后忘得一干二净。这种学生在数学系并不少见。这很可能是因为试题过于简单,以致于考察的根本不是数学思维能力,而是记忆能力。既然考察的内容不多,只需要短期记忆就可以了。数学思维能力中非常重要的一点是发现隐含模式的能力。别人看不到的规律,你可以看到;别人解决不了的问题,你可以解决。工作生活中,切中要害,快刀斩乱麻。这些取得良好成绩的人毕业后,根本没有意识到,他们学到的并不是数学思维能力,因此抱怨数学没用。

我认为,重视数学的人,自然明白做数学的意义,或因数学的广泛应用,或因数学的纯粹之美.他们的热情,加上接受的专业教育,很可能使他们成为优秀的数学工作者.这些人是真正应该受到鼓舞从事数学研究的人.对于想要从事技术型工作的人,打一个良好的数学基础也是大有裨益的,不在于学到的数学知识,而在于锻炼的思维能力。而认为数学没用的人,应该是想找一份的工作去的.这些人应该及早做好职业规划,锻炼相关技能,而不应该纠结于数学.若数学能对所从事的工作有所帮助,那自然更好了.

数学滚出高考?

今年夏天,有人在新浪微博上发起一个话题:数学滚出高考?结果7成以上的网友表示赞成.

为什么有那么多人如此讨厌数学?

高尔斯在书中这样解释:

很可能并不是因为数学很无聊,而是数学课的经历很乏味.这一点更容易理解.因为数学总是持续在自身的基础上构建,所以学习时的步步跟进就显得很重要.

比方说,如果你不擅长两位数以上的乘法,那你很可能不会对乘法分配率有良好的直觉.这样,你就会对计算打开括号(x+2)(x+3)感到不适应,于是接下来你就不能很好地理解二次方程,因而也无法理解黄金分割比了(由一个二次方程解出).

学习数学时的步步跟进不仅仅是保持技术熟练度而已.数学中常常会引入重要的新思想,新思想会比旧思想更加复杂,每一个新思想的引入都有可能把我们甩在后面.

没有作好准备来进行必要的概念飞跃的人,一旦遇到这些新思想时,就会对其后建立在新思想基础上的一切数学感到并不牢靠.久而久之,他们就会习惯于对数学老师所说的东西仅仅一知半解,日后再错过几次飞跃,恐怕连一知半解也做不到了.同时他们又看到班上其他同学能够轻而易举地跟上课程.因此就不难理解,为什么对许多人来讲数学课成了一种煎熬.

大学数学系的基本课程是数学分析和高等代数,基础课没学好,后续的微分方程、泛函分析之类的就不必多言.数学系的两极分化就是这样产生的.

所以说,这些赞成数学滚出高考的人, 甚至在中学已经落伍了,他们大声叫嚣,只不过是为自己的无能找一个台阶下.就像之前的我一样,表面看不起数学,实则因为自己的落后.

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以上两节,不同的人读完可能有不同的感受.你可能觉得反正不再学习数学了,完全无所谓,这没错.你也可能像我一样,经历重重打击,仍有一丝喜爱.如果你对数学抱有极大的兴趣,则不妨继续阅读以下两节,这将有助于你打消一些可能存在的疑虑.

数学年龄

有人说,我的年龄大了,还能不能做数学?

这个问题,我曾经问过我的一个老师.我对老师抱怨:我已经20岁出头了,是不是太老了?老师哈哈大笑:你觉得自己老了,那让我情何以堪?

是的,想学习数学,没必要非得是一名天才.的确有一些人,他们在20多岁已经作出了极其卓越的成果.伽罗瓦(Variste Galois)与阿贝尔(Abel)并称为现代群论的创始人,他死于一场令人唏嘘的决斗,年仅21岁.这些耀眼的明星,是我们无法企及的.高尔斯作为一个成熟的数学家,给出了他的意见:

的确有一部分数学家在20来岁的时候做出了他们最杰出的工作,但绝大多数人都认为,他们的知识水平和专业素质终其一生都在稳健地提高,在许多年里,这种专业水平的增长都能够弥补“原生”脑力的任何衰退.

这些超乎寻常的人并不总是最成功的数学研究者.如果你想要解决某个问题,而之前尝试过的数学家都以失败告终,那么你需要具备种种素质,在这其中天赋既不是必要的也不是充分的.但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心,对他人完成的艰难工作的广泛了解,在正确的时间专攻正确领域的运气,以及杰出的战略性眼光.

上面所说的最后一条素质,从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要.数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的.随着数学家的成长,他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏,部分来自于其他数学家的工作,部分来自于自己对这个问题长时间的思考。是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题,则在很大程度上决定于细致的规划:选取一些可能会结出丰硕成果的问题,知道什么时候应该放弃一条思路(相当困难的判断),能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握,这绝不与天赋相矛盾,但也并不总是会伴随着天赋。

我觉得,高尔斯是说,天赋、年龄确实比较重要,但并不是必要的。如果你愿意赌,并有足够的勇气,自然不必太在意自己的资质和年龄。说不定你就是下一个怀尔斯呢。(我先声明,不对这段话负责:))

数学研究的进行

如果说数学研究中有什么比较神秘的话,那并不是困难问题的存在——实际上,要创造出奇难无比的问题很容易——而是居然有足够的问题恰好有相当的难度,从而钓住数以千计的数学家。要实现这一点,这些问题必然得有挑战性,但同时也必须让人们看到有可能解决的一线希望。

我个人认为,数学学习就是这样。需要做一些有挑战性又在能力范围内的题目。从这一点来说,参加数学竞赛是很有意义的。有人认为,中学奥数的难题,可以轻易地用大学数学解决。但不要忘了,在解决奥数题的过程中,可能把初等数学用到了极致。学习大学数学也是如此。有朝一日做数学研究,前方荒芜一片,这种能力就派上用场了。

那么这是不是意味着,做数学研究一定要解决什么猜想吗?这倒未必。解决某个猜想固然重要,也会给你带来名气甚至是金钱。但本质上说,新的数学理论和方法更重要,这也是人们期望通过解决猜想得到的。

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好吧,这次的读后感先到此为止,还有许多话题没有涉及,比如计算机证明、数学与黑客、数学基础的裂痕等,以后再说。有时间的话,我会把《数学》一书的主要观点整理一下,写成一篇短文。当然,如果你阅读过程中感到不适,千万不要忘了,我不过是在胡扯而已。

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