图算法(二)Tarjan

在一次BFS或DFS中,我们其实并不能保证一定访问到图中的所有节点,因为有些图可能是不连通的。我们把从一个点出发,所有可达点的集合称为这个点所在的连通分量。给定一个无向图,我们找所有连通分量的方法叫做灌水法(Flood Fill),其实就是对当前未访问过的点做BFS/DFS,直到所有的点都被访问过1次。
Tarjan算法是为了解决有向图中类似的问题提出的。只不过有向图中我们可以定义强连通分量,有向图中一个强连通分量中的任意两个点u,v都是强连通的,即存在从u到v的路径,也存在从v到u的路径。

strong-connected.png

很明显,Flood Fill并不能用来求强连通分量。但只使用BFS/DFS,我们可以给出一个求给定点所在强连通分量的方法:1) 从该点出发做一次BFS/DFS;2) 把所有边反向,再从这个点做一次BFS/DFS;3) 把两次搜索访问的顶点集合做一次交,就可以得到该点所在的极大强连通分量。如果用这种方法求所有强连通分量的话,需要对每个点做两次BFS/DFS。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,这里只介绍Tarjan,它只需要对图做一遍DFS。

在进入Tarjan算法之前,你需要明白对图做DFS可以得到一棵树,树的根节点是DFS的起点,每次从点u访问一个的点v,就引一条从u到v的边。

Tarjan算法中,图中每个节点维护两个属性:

  1. dfu(i):节点i在DFS中第dfu(i)个被访问到(时间戳);
  2. low(i):DFS搜索树中,以节点i为根节点的子树中的节点集合记为T(i)。T(i)中的点在原图中所指向的点的集合记为S(i)。S(i)中最小的时间戳就是low(i)。

Tarjan算法的描述如下:

  1. 初始化一个空的栈和一个每访问一个节点加1的计时器
  2. 对图做DFS,每次访问新的顶点时,设定dfn(i)为当前时间,把该节点压栈,接着求low(i):对于还没被访问的后继节点j,递归访问j,low(i) = min(low(i), low(j)),对于已经访问过的且在栈中的后继节点j,low(i) = min(low(i), dfn(j))。如果最终得到的low(i) = dfn(i),就把栈中当前节点以上的节点全部弹出,这些节点就是一个极大强连通分量

Tarjan算法只需要做一遍DFS,所以一定会终止,时间复杂度O(m+n)

C++实现:

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++cnt;
    st[++top] = u;
    instack[u] = true;

    for(Edge *p = e[u]; p; p = p->next) {
        int v = p->dst;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u] = std::min(low[u], low[v]);
        }
        else if(instack[v])
            low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
    }
    
    if(dfn[u] == low[u]) {
        cluster++;
        int hd;
        do {
            hd = st[top--];
            instack[hd] = false;
            belong[hd] = cluster;
        }
        while(hd != u);
    }
}

(PS:一道经典的求强连通分量的题 Networks of School

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 151,688评论 1 330
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 64,559评论 1 273
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 101,749评论 0 226
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 42,581评论 0 191
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 50,741评论 3 271
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 39,684评论 1 192
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,122评论 2 292
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 29,847评论 0 182
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,441评论 0 228
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 29,939评论 2 232
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,333评论 1 242
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 27,783评论 2 236
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,275评论 3 220
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,830评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,444评论 0 180
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 34,553评论 2 249
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 34,618评论 2 249