《中国机长》背后的数学模型,了不起的中国机长!

四川8633,成都在叫你,听到请回答。


2018年5月14日,搭载119名乘客的四川航空公司3U8633航班由重庆飞往拉萨。


飞行半小时后,航班进入成都区域巡航阶段。


突然,在没有任何征兆的情况下,随着“哄”的一声巨响,驾驶舱右座前风挡玻璃爆裂脱落,这让曾担任多年空军第二飞行学院教员的机长刘传健,顿时心里一惊。


舱内瞬间失压,驾驶舱物品全都飞了起来,许多设备出现故障,坐在副驾驶位的徐瑞辰瞬间被强风“吸住”,半个身子探出了飞机。



他此时正穿着还是短袖的工作服,就这样直接暴露在32000英尺的高空内,被寒风与安全带同时拉扯。


驾驶舱失压,舱内气温迅速降到零下40多摄氏度,多数仪器直接失灵,3U8633航班于7:10发出了“7700”紧急求助信号后,从9400米急速下降 到7200米,暂时与地面失去了联系。


此时的刘传健清晰地明白,若想安全着陆,必须备降成都


但在自动驾驶完全失灵,仪表盘损坏,无法得知飞行数据的情况下,如何确定方向、航向,返航机场的位置等问题,成了对机组人员最大的考验


刘传健机长在其他自动设备都不能提供帮助的情况下,完全凭手动和目视,靠毅力掌握方向杆,完成了返航迫降。全程,刘传健的身体在驾驶舱低温、狂风和低压的状态下,发出了非常大的抖动,瞬间失压和低温让他非常难受,每一个动作都非常困难。



“你要知道,当时飞机的速度是八九百公里(每小时),又在那么高的高度。我给你打个比喻:如果你在零下四五度的哈尔滨大街上,开车以200公里的时速狂奔,你把手伸出窗外,你能做什么?”刘传健机长说到。


此次“世界级”的备降让全世界感动了,作为数学建模爱好者,从数学的角度一探究竟,整个过程到底有多难。


1 飞机模型


飞机飞行原理主要涉及物理学中的流体力学。大多数飞机都是由下面六个主要部分组成:机翼、机身、尾翼、起落装置、操纵系统和动力装置。



整个过程及其复杂,是不可能完全模拟的,在这里先刨除人为因素,将飞机着陆的整个过程分解成三个阶段的模型:

1、飞机在空中降落的运动模型

2、飞机接触机场瞬间的着陆模型

3、飞机降落机场后的滑行模型


2 降落模型


四川8633大型客机在空中飞行时突发状况,飞行员不得不采取措施准备紧急迫降。在这种情况下,飞机的运动轨迹看成是一条连续的光滑曲线。首先,我们对飞机的受力情况进行分析:

根据图形可以看出,阻力f是阻止飞机下落时速度增加的最重要的因素,而速度方向是与阻力方向相反的,我们将速度分为水平和竖直两个方向。由于随着速度的增大,阻力也在增大。

因为它的运动轨迹是连续的,飞机在垂直下降的速度随时间的变化图如下图所示。

竖直方向速度和时间的图像

水平方向速度与下降高度的图像


以这样的速度下降到地面飞机速度将达到980km/h,将只剩下灰烬,所以驾驶员必须保持清醒,保持住下降的速度,不能变成自由落体。



每个飞机都有固定的航线,如果9400米高空,直接下降到地面,难免会和其他底层飞机撞击,很可能发生撞机事件,后果不堪设想。所以空军西部战区在发现3U8633航班异常下降后,立即清理了附近的空域,转交民航局临时调配使用。民航部门在收到7700紧急信号代码后也紧急清空了空域和机场的民航飞机。这就给飞机下降做好了前提准备。


经验丰富的机长也是先通知了地面,然后缓速下降,留了一个缓冲的时间段。所以下降速度应该是一个缓冲下降的。中间仍有30分钟的时间,平均下降速度达到920km/h


3 着陆模型


飞机着陆是最容易出现事故的时候,况且在飞机出现故障的时间,心脏快要跳出来了。如果在降落瞬间不能保持平衡,或者速度过大,很可能在地面坠毁。



四川8633大型客机在进入成都双流机场的瞬间,飞机受到的力瞬间增加了飞机的动力和阻力,我们通过受力分析可知


调整好角度,还要调整好速度,使得冲击压力在飞机的承受范围之内,小数查到角度和压力的数据:


图像显示:


角度与临界速度的图像


攻角压力峰值图像


从拟合图像可以看出:在角度变化的情况下,夹角θ越小,飞机受到的压力峰值(压强)越小。从计算的结果可以看出飞机迫降的夹角θ与最大压强Pm的关系,即:又要满足飞机不会出现翻转,垂直或是平行于成都双流机场着陆这几种情况。因此夹角同时要满足θ∈(0,½π),因此能得出最终夹角的范围。


从而,当飞机在假设条件下,沿着与成都双流机场夹角为θ的方向迫降时,飞机能够承受住最大压强的冲击,达到安全迫降的效果。而这里的θ满足:




机长快速的计算着参数,找准着陆点。保持角度和速度。



4 滑行模型


飞机下降后即使平稳着陆,但是前面一旦有障碍物,比如树,也会由于巨大的冲击力而受损。我们看看飞机降落点周围多少米要是空地。假设飞机随机方向最大速度迫降,会威胁到周围几公里呢?



根据前面的速度,飞机的阻力和刹车速度可知s=vt(距离速度公式)代入数据计算可得,飞机随机方向最大速度迫降,会威胁到10公里左右。


四川8633,并不是“孤军奋战”。



民航部门在收到7700紧急信号代码后也紧急清空了空域和机场的民航飞机。事故发生不到10分钟,成都双流机场现已做好备降准备,地面各单位严密监控空中动态。救助设施及人员在第一时间抵达双流机场,为乘客及机组人员提供医疗救助。10分钟清空机场,防止发生碰撞,效率极其高效。


5 模型意义


2019年9月28日,《中国机长》电影票房第一,不少观众在影院潸然泪下,写下长篇影评。因为令人动容的,是中国机长的过硬素质,更是中国民航的强大与专业,也是危难面前,大家的团结与真情


“成都8633,119名乘客全部安全返航!”


了不起的中国机长!

了不起的民航奇迹!!

了不起的中国力量!!!



【参考文献】

[1] 李会超. 河面上的紧急迫降——印尼航空421航班[J]. 百科探秘:航空航天, 2019(3):14-17.

[2] 白新鑫. 高空中,飞机风挡玻璃为何破损脱落?到底有多惊险?[J]. 方圆, No.498(10):8.

[3] 胡大勇, 杨嘉陵, 王赞平,等. 某型飞机水上迫降数值化模型[J]. 北京航空航天大学学报, 2008, 34(12):1369-1374.

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[6] 朱晓艳. 客机水上迫降强度数值分析[D]. 武汉理工大学, 2012.

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[9] 孙为民. 民机机身结构稳定性和水上迫降分析与应用研究[D]. 南京航空航天大学, 2009.

[10] 李会超. 从《萨利机长》看民航客机的应急措施[J]. 百科探秘(航空航天):20.

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