B+树总结

B+树特征

B+ 树是一种树数据结构,是一个n叉树,每个节点通常有多个孩子,一颗B+树包含根节点、内部节点和叶子节点。B+ 树通常用于数据库和操作系统的文件系统中。 B+ 树的特点是能够保持数据稳定有序,其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。 B+ 树元素自底向上插入。

一个m阶的B树具有如下几个特征:

1.根结点至少有两个子女。

2.每个中间节点都至少包含ceil(m / 2)个孩子,最多有m个孩子。

3.每一个叶子节点都包含k-1个元素,其中 m/2 <= k <= m。

4.所有的叶子结点都位于同一层。

5.每个节点中的元素从小到大排列,节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。

在本例中每一个父节点都出现在子节点中,是子节点最大或者最小的元素。而下面的例子中存在如果父结点存储的为子节点最小值,那么便不需要存储第一个子节点的内容。【例如子节点5、8--->10、15--->16、17、18意味着我父节点存10与16即可。而同样的例子如果父节点存最大值,那么便需要存8、15、18 】

在这里,根节点中最大的元素是15,也就是整个树中最大的元素。以后无论插入多少元素要始终保持最大元素在根节点当中。

每个叶子节点都有一个指针,指向下一个数据,形成一个有序链表。

而只有叶子节点才会有data,其他都是索引。

B+树与B树的区别

  • 有k个子结点的结点必然有k个关键码;
  • 非叶结点仅具有索引作用,跟记录有关的信息均存放在叶结点中。
  • 树的所有叶结点构成一个有序链表,可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。

B+树的查询操作

在单元查询的时候,B+树会自定向下逐层查找,最终找到匹配的叶子节点。例如我们查找3 。


而B+树中间节点没有Data数据,所以同样大小的磁盘页可以容纳更多的节点元素。所以数据量相同的情况下,B+树比B树更加“矮胖“,因此使用的IO查询次数更少。

由于B树的查找并不稳定(最好的情况是查询根节点,最坏查询叶子节点)。而B树每一次查找都是稳定的。

比起B树,B+树 ①IO次数更少 ②查询性能很稳定 ③范围查询更简便

下面我放入一个讲解的很好的博客:https://blog.csdn.net/Fmuma/article/details/80287924

B+树的插入操作

①若为空树,那么创建一个节点并将记录插入其中,此时这个叶子结点也是根结点,插入操作结束。

此处的图片中例子的介数为5 。

a)空树中插入5。

②针对叶子类型结点:根据key值找到叶子结点,向这个叶子结点插入记录。插入后,若当前结点key的个数小于等于m-1(5-1 = 4),则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点,左叶子结点包含前m/2个(2个)记录,右结点包含剩下的记录,将第m/2+1个(3个)记录的key进位到父结点中(父结点一定是索引类型结点),进位到父结点的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点,然后执行第3步。

b)依次插入8,10,15。

c)插入16

插入16后超过了关键字的个数限制,所以要进行分裂。在叶子结点分裂时,分裂出来的左结点2个记录,右边3个记录,中间第三个数成为索引结点中的key(10),分裂后当前结点指向了父结点(根结点)。结果如下图所示。

③针对索引类型结点:若当前结点key的个数小于等于m-1(4),则插入结束。否则,将这个索引类型结点分裂成两个索引结点,左索引结点包含前(m-1)/2个key(2个),右结点包含m-(m-1)/2个key(3个),将第m/2个key进位到父结点中,进位到父结点的key左孩子指向左结点,,进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点,然后重复第3步。

d)插入17

e)插入18,插入后如下图所示

当前结点的关键字个数大于5,进行分裂。分裂成两个结点,左结点2个记录,右结点3个记录,关键字16进位到父结点(索引类型)中,将当前结点的指针指向父结点。

f)插入若干数据后


g)在上图中插入7,结果如下图所示

当前结点的关键字个数超过4,需要分裂。左结点2个记录,右结点3个记录。分裂后关键字7进入到父结点中,将当前结点的指针指向父结点,结果如下图所示。

当前结点的关键字个数超过4,需要继续分裂。左结点2个关键字,右结点2个关键字,关键字16进入到父结点中,将当前结点指向父结点,结果如下图所示。

当前结点的关键字个数满足条件,插入结束。

此处参考了:https://blog.csdn.net/Fmuma/article/details/80287924

B+树的删除操作

下面是一颗5阶B树的删除过程,5阶B数的结点最少2个key,最多4个key。

如果叶子结点中没有相应的key,则删除失败。否则执行下面的步骤。

①删除叶子结点中对应的key。删除后若结点的key的个数大于等于Math.ceil(m/2) – 1(>=2),删除操作结束,否则执行第2步。

a)初始状态

b)删除22,删除后结果如下图


删除后叶子结点中key的个数大于等于2,删除结束。

②若结点的key的个数小于Math.ceil(m/2) – 1(<2),且兄弟结点key有富余(大于Math.ceil(m/2)– 1)(>2),向兄弟结点借一个记录,同时用借到的key替换父结(指当前结点和兄弟结点共同的父结点)点中的key,删除结束。否则执行第3步。

c)删除15,删除后的结果如下图所示。


删除后当前结点只有一个key,不满足条件,而兄弟结点有三个key,可以从兄弟结点借一个关键字为9的记录,同时更新将父结点中的关键字由10也变为9,删除结束。

③若结点的key的个数小于Math.ceil(m/2) – 1(<2),且兄弟结点中没有富余的key(小于Math.ceil(m/2)– 1),则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点,并删除父结点中的key,将当前结点指向父结点(必为索引结点),执行第4步(第4步以后的操作和B树就完全一样了,主要是为了更新索引结点)。

d)删除7,删除后的结果如下图所示


当前结点关键字个数小于2,(左)兄弟结点中的也没有富余的关键字(当前结点还有个右兄弟,不过选择任意一个进行分析就可以了,这里我们选择了左边的),所以当前结点和兄弟结点合并,并删除父结点中的key,当前结点指向父结点。

④若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m/2) – 1(>=2),则删除操作结束。否则执行第5步。

⑤若兄弟结点有富余,父结点key下移,兄弟结点key上移,删除结束。否则执行第6步

⑥当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点,重复第4步。

此时当前结点的关键字个数小于2,兄弟结点的关键字也没有富余,所以父结点中的关键字下移,和两个孩子结点合并,结果如下图所示。

注意,通过B+树的删除操作后,索引结点中存在的key,不一定在叶子结点中存在对应的记录。

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 156,423评论 4 359
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 66,339评论 1 289
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 106,241评论 0 237
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 43,503评论 0 203
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 51,824评论 3 285
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 40,262评论 1 207
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,615评论 2 309
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 30,337评论 0 194
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,989评论 1 238
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 30,300评论 2 240
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,829评论 1 256
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 28,193评论 2 250
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,753评论 3 230
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,970评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,708评论 0 192
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 35,295评论 2 267
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 35,207评论 2 258

推荐阅读更多精彩内容