卡尔曼滤波器

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姓名:李嘉蔚学号:16020520034

【嵌牛导读】:本帖讲一讲如何直观的理解卡尔曼滤波器,因为著名的五大公式一点都不直观。

【嵌牛鼻子】:卡尔曼滤波器。五大公式。

【嵌牛提问】:如何推导五大公式?

【嵌牛正文】:

我们先把卡尔曼滤波器什么的先抛在一边,想一想传感器的问题。我们知道,传感器总是会有一些误差,好的传感器误差小一些,差的传感器误差大一些,而且误差一般可以理解为服从正态分布。

所以我们可以把传感器看成服从某个正态分布的随机变量。

当我们手上仅有一个传感器的时候,可以多做几次测量取平均值,因为噪声加噪声还是一倍的噪声,真实值加真实值是两倍的真实值,再除以二,真实值恢复为一倍,噪声变弱0.5倍。也可以这么理解:

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可见方差变小了

要是手上有两个传感器呢?

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我们一般会给两个传感器各分一个权重:【图片】

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这样,x^也是个服从正态分布的随机变量:【图片】

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与上一楼一样,我们希望其方差最小,要这么算:【图片】

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这样我们得到了最优解

接上楼,我们用P表示随机变量的方差,再把上面两个式子变一下形式:【图片】

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总结一下,若是两个传感器的方差可以知道或者脑部出贴近的,则按照下面两个式子,可以计算出最优的值,以及该值的方差。

好了,下面来看一看另一个问题:现在确实只有一个传感器,怎么办?呵,如果我们还能知道系统的方程,就可以从数学上推断一个值,这个值与传感器得到的值不相关,那么上楼的公式就可以套用。

我们看简单地线性系统,它的系统方程与传感器方程假设如下:【图片】

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其中H非奇异。

现在我们把x的两个估计值给出来:【图片】

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然后看看它们的分布:【图片】

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OK!这下满足公式要求了,我们把这两个式子带入4楼的公式(W,V用来表示系统的噪声,在这里不带入):【图片】

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恭喜!原始的卡尔曼滤波器出现了!只要源源不断用Xk^替代Xk-1,P(Xk^)替代P(xk-1),就能一直预测下去了。

这一楼我们把上楼的“朴素公式“变成五大公式。

首先,处理一下H的逆,那一大坨分式上下同时左乘H,右乘H的逆:【图片】

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把分子的H提出来(注意分式是个数字,所以H与剩下的可交换):【图片】

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我们用Kg(k)来表示剩下的一大坨(嗯,人们都叫它”卡尔曼增益“)同时处理一下括号里的H的逆:【图片】

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继续替代括号里的复杂玩意:【图片】

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呵,五大公式出现了!

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