(11.2)James Stewart Calculus 5th Edition:Series


Series 级数

类似


这样的数列,叫做 ** infinite series 无限级数** (或者 series 级数
(这里,为什么要翻译成 级数..., 不翻译成 系列,连续数 ??... 我也是服了 ,在名词上,总是让人感到)

可以简单写成:



或者


一些级数的和
例如:



我们可以得到(过程略)
n(n + 1) / 2

再例如:



通过表格,我们可以知道



所以,我们可以得到,当n为无穷大的时候,有

当然,n有限的时候
可以理解为 partial sums 部分和

可以简单写成



convergent 收敛 和 divergent 发散


当然,还有一种写法:



例子1 geometric series 几何级数(也就是 等比数列)

(自己看见一个东西,在不同的课本,叫不同的名字, 其实 第一感觉,就是让人郁闷, 为什么知识这样的东西, 没有一个总的调整,:-( 中国不缺人才,只缺为人才考虑的人)



求法也很简单


相乘后,交叉相减即可


当 -1 < r < 1 的时候,



其他时候,发散

也就是:



例子2


很容易发现,对应的比例 r = - 2/3
我们知道, |r| < 1
所以,收敛



例子3


我们简单变化,有:



这个时候,我们知道 4/3 > 1
所以,级数 是 发散的


例子4


我们可以把它变化成:


求对应的级数和:



例子5


根据公式,直接有:


例子6


相信,这是小学最常见不过的奥数题了
一般课本,初中也经常出现
(感觉中国最常见的是, 总是用复杂的东西,去考下面的人,最后生活中,又不去应用...)

题目,其实就是:



由:



可得:

所以,



例子7 (harmonic series 调和级数)

这里要证明是发散的,
虽然不好直接证明,但是可以缩小以后,证明缩小的是发散的



所以:


所以,我们可以得到对应的值,是 无穷大的
所以是 divergent 发散的


理论


不证明了,简单贴一下过程:

简单的推导


一些级数的加减乘除



例子9


单独求以后,相加即可



又由:



所以,我们简单连接有:
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