上一篇文章中，线性回归关键问题之一：求解系数的方法梯度下降。梯度下降在数据挖掘很多算法中都有应用， 属于比较基本的数学基础方法， 本文对此算法进行基本的介绍。

梯度下降在机器学习中的意义：
机器学习算法会利用某个统计量来刻画目标函数的拟合情况。虽然不同的算法拥有不同的目标函数表示方法和不同的系数值，但是它们拥有一个共同的目标——即通过最优化目标函数来获取最佳参数值。而梯度下降法就是优化目标函数而求得最佳参数值的方法。

梯度下降数学原理

理解梯度概念之前， 先预习下几个基本概念和物理意义：

导数

导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f'(x0)，也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0，即：

导数公式

导数的物理意义：表示函数值在这一点的变化率。

偏导数

偏导数定义（以二元函数X方向偏导数为例）:
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地偏导数函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数(partial derivative)。记作f'x(x0,y0)。

在X方向的偏导数

如上图所示：偏导数表示固定面上一点M0（x0, y0, z0）对x轴的切线斜率;
偏导数的物理意义：函数沿坐标轴正方向的变化率。

方向导数

多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率，而方向导数则是反应的函数值沿各个方向的变化率。方向导数的定义:

方向导数定义

方向导数的求解公式：

方向导数的求解公式

说明：其中a1, a2, ..., an指的是向量L与各个坐标轴的夹角。

在了解以上几个概念之后， 正式进入本文的正题：梯度。

梯度

数学对梯度的定义如下：

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通过上面的公式， 很显然梯度与方向导数存在某种联系。通过向量的推导，很容易得到如下公式：

方向导数与梯度的关系

其中：L0是方向导数中向量L的单位向量

L0向量的定义

要这个向量的点积达到最大， 即方向导数达到最大， gradf和L0必须同方向，也就是说当L0是梯度gradf的方向时， 方向导数到达最大。因此梯度的物理意义：是函数各个方向上变化率最大的那个方向，函数沿着梯度的方向，变化率达到最大。

梯度下降优化目标函数的原理

在理解梯度下降的物理意义之后， 自然就能理解梯度下降在回归算法（其他机器学习算法也会用到）的作用：优化损失函数，让损失函数一直沿着最大的降低方向变化，最终找到最小损失函数（也可能是局部最小）。具体如图所示：

Paste_Image.png

实现回归算法损失函数的思路：每次算出损失函数的梯度（就是对每个参数进行偏导数计算），计算出每个参数的偏导数后， 在每个参数上减去相应的偏导数，得到一个新的参数值， 损失函数就得到函数值降低最快的效果。迭代过程持续到参数收敛，参数是否收敛的判断依据是：
1、θ值变化不再明显（差值小于某给定值）；
2、用损失函数值变化不明显，训练值加上迭代的参数值观察损失函数的变化情况，直到变化不再明显；
3、存在收敛过慢或者死循环的情况，可以强制限制迭代次数。

下面用数学公式推导下回归算法损失函数求解参数的相关公式。损失函数如下：

Paste_Image.png

PS：1/2是为后续计算偏导数方便，并不影响求解损失函数的最小值。

对一个样本点j，参数偏导数的计算公式进行推导：

参数偏倒数的推导过程

对有M个样本点，第J个参数就基于上面偏导数公式进行更新，其迭代的过程如下所示：

参数的迭代公式

公式中alpha 是步长。

梯度下降的局限性

通过参数最终的迭代公式以及梯度下降的实现思路可知，梯度下降公式存在如下几个问题：

1. 计算量很大，因为每次更新theta值时都要将整个训练集的数据代入计算，该算法在训练集合非常大的情况下将会非常低效。
2. 计算的初始值对结果影响大。如果该函数不是凸函数（凸函数得到的最终值是全局最小值)， 函数得到的是局部最小值， 初始值不一样， 最小值也会不一样。如果函数没有最小值，就会陷入无限循环中。

梯度下降的实现

用代码实现 简单的梯度下降程序。
利用y = 2 * x1 + (x2^2) / 2生成x_train, y_train数据， 具体的实现如下图：

# y = 2 * x1 + (x2^2) / 2 
alpha=0.001
max_count = 1000000

x_train = [(1.0,3.0), (2.0, 4.0), (3.0, 5.0), (5.0,9.0), (8.0, 10.0)]
y_train = [6.6, 12.2, 18.8, 50.5, 66.3]

error_end = 0.5

#h(x)
def h(x, theta0, theta1):
    #global theta0, theta1
    #print theta0, theta1, x[0], x[1]
    hx = theta0 * x[0] + theta1 * (x[1]**2)
    return hx

def gradf():
    theta0 = 0.5 
    theta1 = 0.1
    data_len = len(y_train)
    cn = 0
    is_finish = False
    while True:
        for i in range(data_len):            
            det_theta = alpha * (h(x_train[i], theta0, theta1) -  y_train[i])
            theta0 = theta0 - (det_theta) * x_train[i][0]
            theta1 = theta1 - (det_theta) * x_train[i][1]

        error = 0.0
        for i in range(data_len):
            error = error + ((y_train[i] - h(x_train[i], theta0, theta1))**2)/2
        cn = cn + 1
        if error < error_end or cn > max_count:
            print error
            break;

    print "theta:%f, %f" %(theta0, theta1)

if __name__=="__main__":
   gradf()

程序运行后得到的参数：

theta:1.682974, 0.528715

对比函数y = 2 * x1 + (x2^2) / 2的参数： 2， 0.5。有所差异， 但还是比较接近。

以上是最简单的批量梯度下降方法， 梯度下降还涉及alpha步长， 非凸函数的初始化参数选取问题等等， 后续文章再探讨。