跳表的定义
跳表(SkipList)：增加了向前指针的链表叫做跳表。跳表全称叫做跳跃表，简称跳表。跳表是一个随机化的数据结构，实质是一种可以进行近似二分查找的有序链表。跳表在原有的有序链表上增加了多级索引，通过索引来实现快速查询。跳表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能。
跳表的详解
对于一个单链表来说，即使链表中的数据是有序的，如果我们想要查找某个数据，也必须从头到尾的遍历链表，很显然这种查找效率是十分低效的，时间复杂度为O(n)。
那么我们如何提高查找效率呢？我们可以对链表建立一级“索引”，每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽取出来的那一级叫做索引或者索引层，如下图所示，我建立了两级索引，down表示down指针。
假设我们现在要查找值为16的这个结点。我们可以先在索引层遍历，当遍历索引层中值为13的时候，通过值为13的结点的指针域发现下一个结点值为17，因为链表本身有序，所以值为16的结点肯定在13和17这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的down指针，下降到原始链表这一层，继续往后遍历查找。这个时候我们只需要遍历2个结点（值为13和16的结点），就可以找到值等于16的这个结点了。如果使用原来的链表方式进行查找值为16的结点，则需要遍历10个结点才能找到，而现在只需要遍历7个结点即可，从而提高了查找效率。
那么我们可以由此得到启发，和上面建立第一级索引的方式相似，在第一级索引的基础上，每两个一级索引结点就抽到一个结点到第二级索引中。再来查找值为16的结点，只需要遍历6个结点即可，从而进一步提高了查找效率。
跳表的时间复杂度
单链表的查找时间复杂度为：O(n)，
下面分析下跳表这种数据结构的查找时间复杂度：
我们首先考虑这样一个问题，如果链表里有n个结点，那么会有多少级索引呢？按照上面讲的，每两个结点都会抽出一个结点作为上一级索引的结点。那么第一级索引的个数大约就是n/2，第二级的索引大约就是n/4，第三级的索引就是n/8，依次类推，也就是说，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那么第k级的索引结点个数为n/(2k)。
、】
`
假设索引有h级，最高级的索引有2个结点，通过上面的公式，我们可以得到，从而可得：h =log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是。我们在跳表中查找某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那么在跳表中查询一个数据的时间复杂度就为O(m*logn)。
其实根据前面的分析，我们不难得出m=3，即每一级索引都最多只需要遍历3个结点，分析如下：
如上图所示，假如我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y结点之后，发现x大于y，小于y后面的结点z。所以我们通过y的down指针，从第k级索引下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点(包含y和z)。所以，我们在k-1级索引中最多需要遍历3个结点，以此类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。
因此，m=3，所以跳表查找任意数据的时间复杂度为O(logn)，这个查找的时间复杂度和二分查找是一样的，但是我们却是基于单链表这种数据结构实现的。不过，天下没有免费的午餐，这种查找效率的提升是建立在很多级索引之上的，即空间换时间的思想。其具体空间复杂度见下文详解。
跳表的空间复杂度
比起单纯的单链表，跳表就需要额外的存储空间去存储多级索引。假设原始链表的大小为n，那么第一级索引大约有n/2个结点，第二级索引大约有4/n个结点，依次类推，每上升一级索引结点的个数就减少一半，直到剩下最后2个结点，如下图所示，其实就是一个等比数列。
这几级索引结点总和为：n/2 + n/4 + n/8 + ... + 8 + 4 + 2 = n - 2。所以跳表的空间复杂度为O(n)。也就是说如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。
其实从上面的分析，我们利用空间换时间的思想，已经把时间压缩到了极致，因为每一级每两个索引结点就有一个会被抽到上一级的索引结点中，所以此时跳表所需要的额外内存空间最多，即空间复杂度最高。其实我们可以通过改变抽取结点的间距来降低跳表的空间复杂度，在其时间复杂度和空间复杂度方面取一个综合性能，当然也要看具体情况，如果内存空间足够，那就可以选择最小的结点间距，即每两个索引结点抽取一个结点到上一级索引中。如果想降低跳表的空间复杂度，则可以选择每三个或者每五个结点，抽取一个结点到上级索引中。
如上图所示，每三个结点抽取一个结点到上一级索引中，则第一级需要大约n/3个结点，第二级索引大约需要n/9个结点。每往上一级，索引的结点个数就除以3，为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数为1，则可以得到一个等比数列，去下图所示：
通过等比数列的求和公式，总的索引结点大约是：n/3 + n /9 + n/27 + ... + 9 + 3 + 1 = n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但是比之前的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，可以减少了一半的索引结点存储空间。
实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构的时候，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。
5、跳表的插入
跳表插入的时间复杂度为：O(logn)，支持高效的动态插入。
在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找的操作就会比较耗时。
对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是对于跳表来说，查找的时间复杂度为O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置的时间复杂度也是O(logn)，如下图所示：
6、跳表的删除
跳表的删除操作时间复杂度为：O(logn)，支持动态的删除。
在跳表中删除某个结点时，如果这个结点在索引中也出现了，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到删除结点的前驱结点，然后再通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点（双向链表除外）。因此跳表的删除操作时间复杂度即为O(logn)。
7、跳表索引动态更新
当我们不断地往跳表中插入数据时，我们如果不更新索引，就有可能出现某2个索引节点之间的数据非常多的情况，在极端情况下，跳表还会退化成单链表，如下图所示：
作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中的结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入和删除操作性能的下降。
如果你了解红黑树、AVL树这样的平衡二叉树，你就会知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护“平衡性”。
当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以通过一个随机函数，来决定这个结点插入到哪几级索引层中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级这个K级索引中。如下图中要插入数据为6，K=2的例子：
随机函数的选择是非常有讲究的，从概率上讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能的过度退化。至于随机函数的选择，见下面的代码实现过程，而且实现过程并不是重点，掌握思想即可。
8、跳表的性质
(1) 由很多层结构组成，level是通过一定的概率随机产生的；
(2) 每一层都是一个有序的链表，默认是升序 ；
(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素；
(4) 如果一个元素出现在Level i 的链表中，则它在Level i 之下的链表也都会出现；
(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。
平民版跳表实现，若果你对跳表实现完全没概念，可一观
skip_list_test.go
package skip_list_2
import (
"testing"
)
func TestNewSkipList(t *testing.T) {
root := NewLinkedList()
data := []int{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18}
for i := range data {
root.InsertToTail(data[i])
}
skipList := NewSkipList(4, root)
skipList.Dump()
skipList.search(1)
skipList.insert(6)
skipList.Dump()
skipList.search(6)
}
skip_list.go
package skip_list_2
import (
"fmt"
"math/rand"
)
type SkipList struct {
maxHeight int
root *LinkedList
indexList []*LinkedList
step int
}
func NewSkipList(step int, root *LinkedList) *SkipList {
skipList := &SkipList{root: root, step: step}
skipList.createIndexList()
return skipList
}
func (sl *SkipList) isEmpty() bool {
return sl.root.length == 0
}
func (sl *SkipList) createIndexList() {
sl.indexList = make([]*LinkedList, 0, 0)
var currentList *LinkedList
for {
if currentList == nil {
currentList = sl.root
}
tmpList := NewLinkedList()
for i := 0; i < currentList.length; i += sl.step {
if i == 0 {
node := currentList.FindByIndex(i)
newNode := tmpList.InsertToTail(node.value)
newNode.down = node
} else {
node := currentList.FindByIndex(i)
newNode := tmpList.InsertToTail(node.value)
newNode.down = node
}
}
if tmpList.length == 1 { // 只有一个索引，没有什么意义
break
}
sl.indexList = append(sl.indexList, tmpList)
fmt.Println(tmpList)
if tmpList.length == 2 { //最顶层只有三个索引
break
} else {
currentList = tmpList
}
}
}
func (sl *SkipList) search(v int) *Node {
fmt.Println("----- search start-----", v)
list := sl.indexList[len(sl.indexList)-1]
var tNode *Node
tNode = list.FindByIndex(0)
fmt.Println(tNode)
for {
var nodeL, nodeR *Node
nodeL = tNode
nodeR = tNode.next
fmt.Printf("左节点%v -->> 右节点%v\n", nodeL, nodeR)
if nodeR == nil { // 当前层， nodeL 就是最后一个点
tNode = nodeL.down
} else if v >= nodeL.value && v < nodeR.value {
tNode = nodeL.down
} else if v >= nodeR.value {
tNode = nodeR.down
}
if tNode.down == nil {
break
}
if tNode.next == nil {
tNode = tNode.down
}
}
fmt.Printf("原始节点%v\n", tNode)
for {
if tNode == nil || tNode.value > v {
fmt.Println("找不到对应的node")
return nil
}
if tNode.value == v {
fmt.Println("找到了node", tNode)
return tNode
}
fmt.Println("继续查找node")
tNode = tNode.next
}
}
func (sl *SkipList) searchPer(v int) *Node {
fmt.Println("----- searchPer start-----", v)
list := sl.indexList[len(sl.indexList)-1]
var tNode *Node
tNode = list.FindByIndex(0)
fmt.Println(tNode)
for {
var nodeL, nodeR *Node
nodeL = tNode
nodeR = tNode.next
fmt.Printf("左节点%v -->> 右节点%v\n", nodeL, nodeR)
if nodeR == nil { // 当前层， nodeL 就是最后一个点
tNode = nodeL.down
} else if v >= nodeL.value && v < nodeR.value {
tNode = nodeL.down
} else if v >= nodeR.value {
tNode = nodeR.down
}
if tNode.down == nil {
break
}
if tNode.next == nil {
tNode = tNode.down
}
}
fmt.Printf("原始节点%v\n", tNode)
for {
if tNode.next == nil {
fmt.Println("找到了要插入的节点", tNode)
return tNode
}
if tNode.next.value >= v {
fmt.Println("找到了要插入的节点", tNode)
return tNode
}
fmt.Println("继续查找node")
tNode = tNode.next
}
}
func (sl *SkipList) insert(v int) bool {
fmt.Println("----- insert start-----", v)
node := sl.searchPer(v)
tmp := node.next
node.next = NewNode(v)
node.next.next = tmp
//插入完成后 更新索引
level := rand.Intn(len(sl.indexList))
fmt.Println("随机索引层为: ", level)
insertNode := NewNode(v)
for l := level; l >= 0; l-- {
// 确认插入位置的
node := sl.indexList[l].FindByIndex(0)
var target *Node
for {
nodeL := node
nodeR := node.next
if nodeR == nil {
target = nodeL
break
} else if v >= nodeL.value && v < nodeR.value {
target = nodeL
break
} else if v >= nodeR.value {
target = nodeR
break
}
node = node.next
}
tmp := target.next
target.next = insertNode
insertNode.next = tmp
newInsertNode := NewNode(v)
insertNode.down = newInsertNode
insertNode = newInsertNode
}
return true
}
func (sl *SkipList) Dump() {
fmt.Println("----- dump start-----")
for i := len(sl.indexList) - 1; i >= 0; i-- {
sl.indexList[i].Print()
}
sl.root.Print()
fmt.Println("----- dump end-----")
}
linked_list.go
package skip_list_2
import "fmt"
type Node struct {
next *Node
value int
down *Node
}
type LinkedList struct {
head *Node
length int
}
func NewNode(v int) *Node {
return &Node{nil, v, nil}
}
func (this *Node) GetNext() *Node {
return this.next
}
func (this *Node) GetValue() int {
return this.value
}
func NewLinkedList() *LinkedList {
return &LinkedList{NewNode(0), 0}
}
//在某个节点后面插入节点
func (this *LinkedList) InsertAfter(p *Node, v int) *Node {
if nil == p {
return nil
}
newNode := NewNode(v)
oldNext := p.next
p.next = newNode
newNode.next = oldNext
this.length++
return newNode
}
//在某个节点前面插入节点
func (this *LinkedList) InsertBefore(p *Node, v int) bool {
if nil == p || p == this.head {
return false
}
cur := this.head.next
pre := this.head
for nil != cur {
if cur == p {
break
}
pre = cur
cur = cur.next
}
if nil == cur {
return false
}
newNode := NewNode(v)
pre.next = newNode
newNode.next = cur
this.length++
return true
}
//在链表头部插入节点
func (this *LinkedList) InsertToHead(v int) *Node {
return this.InsertAfter(this.head, v)
}
//在链表尾部插入节点
func (this *LinkedList) InsertToTail(v int) *Node {
cur := this.head
for nil != cur.next {
cur = cur.next
}
return this.InsertAfter(cur, v)
}
//通过索引查找节点
func (this *LinkedList) FindByIndex(index int) *Node {
if index >= this.length {
return nil
}
cur := this.head.next
var i int = 0
for ; i < index; i++ {
cur = cur.next
}
return cur
}
//删除传入的节点
func (this *LinkedList) DeleteNode(p *Node) bool {
if nil == p {
return false
}
cur := this.head.next
pre := this.head
for nil != cur {
if cur == p {
break
}
pre = cur
cur = cur.next
}
if nil == cur {
return false
}
pre.next = p.next
p = nil
this.length--
return true
}
//打印链表
func (this *LinkedList) Print() {
cur := this.head.next
format := ""
for nil != cur {
format += fmt.Sprintf("%+v", cur.GetValue())
cur = cur.next
if nil != cur {
format += "->"
}
}
fmt.Println(format)
}
/*
单链表反转
时间复杂度：O(N)
*/
func (this *LinkedList) Reverse() {
if nil == this.head || nil == this.head.next || nil == this.head.next.next {
return
}
var pre *Node = nil
cur := this.head.next
for nil != cur {
tmp := cur.next
cur.next = pre
pre = cur
cur = tmp
}
this.head.next = pre
}
/*
判断单链表是否有环
*/
func (this *LinkedList) HasCycle() bool {
if nil != this.head {
slow := this.head
fast := this.head
for nil != fast && nil != fast.next {
slow = slow.next
fast = fast.next.next
if slow == fast {
return true
}
}
}
return false
}
/*
删除倒数第N个节点
*/
func (this *LinkedList) DeleteBottomN(n int) {
if n <= 0 || nil == this.head || nil == this.head.next {
return
}
fast := this.head
for i := 1; i <= n && fast != nil; i++ {
fast = fast.next
}
if nil == fast {
return
}
slow := this.head
for nil != fast.next {
slow = slow.next
fast = fast.next
}
slow.next = slow.next.next
}
/*
获取中间节点
*/
func (this *LinkedList) FindMiddleNode() *Node {
if nil == this.head || nil == this.head.next {
return nil
}
if nil == this.head.next.next {
return this.head.next
}
slow, fast := this.head, this.head
for nil != fast && nil != fast.next {
slow = slow.next
fast = fast.next.next
}
return slow
}
func main() {
list := NewLinkedList()
list.InsertToTail(2)
list.InsertToHead(1)
list.InsertToTail(3)
list.InsertToTail(4)
list.Reverse()
list.Print()
if list.HasCycle() {
fmt.Println("has cycle")
}
}
