大器晚成的数学家——哈代

1877年2月7日,英国数学家哈代出生。

数学家哈代

学习和研究生涯

哈代在童年时代就显示出数学的机敏,并很早就养成喜欢自由提问和探索的习惯。13岁时,他获得奖学金进入当时以数学家的摇篮著称的温切斯特学院学习。

19岁时,哈代进入剑桥大学三一学院继续深造。在拉弗教授的建议下,哈代阅读了若尔当的名著《分析教程》,并说:“我永远不会忘记我读那本杰作时的震惊,这是我这代数学家受到的第一个启迪,读这本书时我才第一次认识到数学真正意味着什么。”

21岁时,哈代参加了剑桥的数学荣誉学位考试,并成为了一等及格者。但对传统极具反抗精神的哈代认为这种考试是没有意义的。

1911年,哈代开始了同李特尔伍德的长期合作。他们通过学院的邮政来邮寄信件,并达成一种默契:当互相收到信件时,先不读解法,而是要独立解决其中的问题。直到取得一致意见,最后由哈代定稿。当时,一些不了解内情的国外数学家以为李特尔伍德只是哈代虚构的一个笔名。事实上,李特尔伍德本身就是一个出色的数学家。二人共同建立了20世纪上半叶具有世界水平的英国剑桥分析学派。

二、哈代与拉马努金

哈代称自己对拉马努金的发现是他一生中的一段浪漫的插曲。

1913年,出生于印度的拉马努金给哈代寄了一封信,信中陈述了他对素数分布的研究并列有120个条公式,涉及数学中多个领域。这些公式大部分已被别人证明,有些看起来很容易,实际上证明起来很困难。

哈代确信拉马努金是一位数学天才,于是邀请他到英国。哈代花了很多心血教授拉马努金现代欧洲数学知识,他发现拉马努金的知识的局限竟然与它的深奥一样令人吃惊。但他要很强的直觉和推理能力,其工作和思维方式多具挑战性。

遗憾的是,哈代与拉马努金的合作并未持续太久。1919年,拉马努金因肺结核病去世。哈代对这位印度数学奇才的英年早逝深感痛惜,他参与整理了拉马努金的论文集,并著有《拉马努金》一书。哈代与拉马努金的这一段交往也被数学界传为佳话。

这里再提一下这个广为流传的小故事:哈代有次在伦敦坐出租车去看望拉马努金。在与拉马努金的闲谈中提及他是乘1729这个车牌号的出租车来医院的:“这是一个无聊的数字,但愿它不是一个凶兆。”

“不,”拉马努金说,“这是一个非常有趣的数字。我能用两种方法把它表示成两个立方之和:1729=9³+10³=1³+12³。”(事实上,1729是满足这个性质的最小的自然数。)

后来,哈代曾兴致勃勃地讲这个故事的尾声:“自然,我就问他是否知道对应于4次方的这样一个问题的答案。他想了一会,说第一个这样的数很大,是635318657。” 

李特尔伍德听到这宗轶闻时感叹地说:“每个正整数都是拉马努金的朋友。”后来1729就被称为哈代-拉马努金常数,或出租车数、的士数。

电影《知者无涯》剧照

哈代的为人

作为一名知名数学家,哈代的人品同他的学问同样受到赞誉。他健谈:谈话可以吸引周围许多人;他严于律己,参与该出席的各种会议,履行自己的职责;他富于正义感,痛恨战争,一生中不喜欢任何虚伪的东西。

哈代为人谦和,经常强调合作者的重要性而对自己轻描淡写。他曾说过正是得益于与李特尔伍德和拉马努金的平等合作才达到了他不同寻常的大器晚成。哈代引导许多年轻人迈入他们早期研究的大门,并给予他们帮助和鼓励。比如我国数学家华罗庚在剑桥进修时就得到过哈代的指导和帮助。维纳在他的自传《我是一个数学家》中多次表达了对哈代的钦佩与感激。

除了研究数学,哈代的兴趣主要在球类运动上。尤其在板球上,他是一个能够掌握最新技术的球手和经验丰富的评论家。哈代曾说,他之所以选择数学作为自己的事业,主要是因为数学是他能做得最好的一件事,而不是别的什么堂而皇之的理由。他的数学成就基于他对数学的无限热爱和全身心投入。

哈代谈数学

哈代在《一个数学家的辩白》中表达了他对数学的看法。

《一个数学家的辩白》哈代

对于数学是否客观存在,哈代认为:“我认为数学实体是在我们之外而存在的,我们的作用就是去发现它、观察它。那些被夸张地描绘成我们的‘创造物’的定理,不过是我们观察的记录而已。”

对于数学美,哈代认为:“数学的美可能很难定义,但它的确是一种真实的美。”,“最好的数学既是美的,同时又是严肃的。”

哈代对数学应用于战争很反感,他将纯粹数学视为真正的数学而与应用数学划清界限:“就总体而言,纯粹数学显然比应用数学有用。一个纯粹数学家似乎不仅在美学方面而且在实用方面都占有优势。因为有用的东西主要是技巧,而数学技巧主要是通过纯粹数学来传播的。”,“真正的数学对战争毫无影响。”,“是一门‘无害而清白’的职业。”(哈代的某些观点仍存在争议。)

哈代被公认为他所处时代的英国纯粹数学的领导人。最后以他对自己一生的总结和评价结束本文:“我曾为知识领域添砖加瓦,也曾帮别人添枝加叶;这些东西的价值,比起身后留下某种纪念物的大数学家或任何其他大大小小的艺术家们创造的价值,只是程度上有所不同,性质上并无差异。”

再分享一个哈代的轶事。

哈代很喜欢与数学家玻尔(物理学家玻尔的弟弟)共度暑假, 一起讨论黎曼猜想。 他们对讨论都很投入,哈代常常要待到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次当他赶到码头时, 很不幸地发现只剩下一条小船可以乘坐了。没办法,他只得硬着头皮登上。

在那样的汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情,弄得好算是浪漫刺激,弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的平安,信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。哈代却是一个坚决不信上帝的人。不过在这生死攸关的的时候哈代也没闲着,他给玻尔发去了一张简短的明信片,上面只有一句话: “我已经证明了黎曼猜想。” 

哈代果真已经证明了黎曼猜想吗?当然不是。那他为什么要发那样一张明信片呢?回到英国后他向玻尔解释了原因,他说如果那次他乘坐的小船真的沉没了,那人们就只好相信他真的证明了黎曼猜想(这里有效仿费马的意思)。但他知道上帝是肯定不会把这么巨大的荣誉送给他——一个坚决不信上帝的人的,因此上帝是一定不会让他的小船沉没的。

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