42思维模型:混沌理论一20世纪最伟大的三项理论之一

人们能精确地预言哈雷慧星每76年回归地球一次。但长期的天气预报却没办法精准预测,这是为什么?

1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机,对长期天气预报进行精准预测的计算机模拟。有一次,洛伦兹为了检验上一次的计算结果,决定再算一遍。在第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。他发现初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里,另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣!

后来洛伦兹发现非线性方程不同于线性方程,线性方程对初值的依赖不敏感,而非线性方程对初值的依赖极其敏感。由此洛伦兹断言:准确地作出长期天气预报是不可能的。

对此,洛伦兹作了个形象的比喻:一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风,这就是蝴蝶效应。后来科学家发现行星运动,是有稳定规律的,但天气之类的现象,则是反复无常的。

牛顿也说过:我可以预测天体的运行,却没办法预测人类的疯狂。这是为什么?

因为我们的大自然是复杂和非线性的,牛顿的经典物理学研究的是线性系统,例如自由落体、单摆运动属于简单的物理系统。但是大气系统、生物系统、经济系统、社会系统,千差万别、种类繁多,复杂多变难以预测和控制。科学的研究方向也从线性科学向非线性科学发展。

线性科学是一门研究非线性系统的共性,探索事物复杂性的新学科(science of complexity)。所谓非线性是相对线性而言的。线性是指量与量之间的正比关系,在线性系统中,分量之和等于总量,遵循叠加原理,而非线性则刚好相反,分量之和不等于总量,不遵循叠加原理。

非线性现象在时空中表现为从规则运动向不规则运动的转化和跳跃

非线性系统中某个分量极微小的变化,可以引起整个系统运动形式的性质改变(例如蝴蝶效应)

非线性系统对外界扰动会作出与外界扰动因素截然不同的响应。

20世纪非线性科学发展的四个阶段

40年代:组织理论:控制论,信息论,一般系统论

60年代:自组织理论(系统如何从无序→有序):Catastrophic Theory (Thom, Arnold),超循环论(Eigen),Dissipative Structure(Prigogine),Synergetics (Haken)

70年代:非线性科学(系统如何从有序→ 混沌和无序  →更高层次的有序)Chaotic Dynamics(Feigenbaum, Ford, Kadanoff),Integrable System-Soliton Theory(Scott,扎哈罗夫), Fractals (Mandelbrot)

90年代:复杂性科学(复杂性的定义及量度,复杂系统的行为及模型)Neural Network (Hopfield), Cellular Automaton (Wolfram),人工生命

19世纪末庞加莱(H.Poincare)在总结整个世纪这方面进展的基础上,提出不少新的理论和方法,当前非线性科学中的很多概念和思想,都本源于庞加莱。非线性科学中,可以有定量分析、精确计算、数学理论或实验研究的部分,一般认为可以归为以下三种:孤立波(soliton),混沌(chaos),分形(fractal)。而混沌理论是非线性科学的重要理论。

一、什么是混沌

混沌,英文为chaos,意思是无序和混乱的状态。然而混沌作为一门科学发展至今,仍没有一个准确、完整、科学的定义,不同领域的科学家往往对其有不同的理解。

科学家给混沌下的定义是:混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动,其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测,这就是混沌现象。

混沌理论的主导思想是,宇宙本身处于混沌状态,在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突,会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。

在现实生活混沌是无处不在的。在气候中,在海洋湍流中;在野生动物族群数涨落中;在脉博和大脑的振动中;在股票期货市场的涨跌中;机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动;正常的脑电波则近乎随机讯号,其脑电图曲线代表的就是典型的混沌现象;单摆是我们熟知的确定性运动的典型,但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态

混沌的研究产生于数学和纯科学领域,渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域,成为一门新兴学科。

混沌学的任务:在这些表面上看起来无规律、不可预测的现象背后,寻求混沌现象的规律,加以处理和应用。

近年来,人们在混沌系统的耦合、复杂网络、分子马达、混沌密码、螺旋波等方面有了广泛研究,使混沌理论的研究进一步推向深入。

混沌理论作为一种新的思维方式,已经影响到诸多领域。近年来混沌国际研究主要分支方向:混沌控制和同步、预测及其通信,混沌计算,混沌优化,混沌密码。

二、混沌的特征

1、对初值的敏感性

气象学家洛仑兹提出的所谓"蝴蝶效应"就是对这种敏感性的突出而形象的说明。“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省,不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩,更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。

从科学的角度来看,“蝴蝶效应”反映了混沌的一个重要特征:系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘,谬以千里”。这种敏感性,一方面反映出在非线性动力学系统内,随机性系统运动趋势的强烈影响;另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。

经典动力学的传统观点认为:系统的长期行为对初始条件是不敏感的,即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混沌系统中,初始条件的十分微小的变化经过不断放大,对其未来状态会造成极其巨大的差别。有一则西方寓言很好地解释了混沌理论的基本概念。丢失一个钉子,坏了一只蹄铁;坏了一只蹄铁,折了一匹战马;折了一匹战马,伤了一位骑士;伤了一位骑士,输了一场战斗;输了一场战斗,亡了一个帝国。马蹄铁上一个钉子是否会丢失,本是初始条件的十分微小的变化,但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。

2、内在随机性

混沌是确定性非线性系统的内在随机性,这是混沌的重要特征之一。

洛仑兹动力学方程描绘出的运动轨迹,具有一种奇特的形状,象一只展开了双翼的蝴蝶,在这个奇妙精巧的蝴蝶上,确定性和随机性被有机地结合在一起:一方面,运动的轨迹必然落在“蝴蝶”上,绝不会远离它们而去,这是确定性的表现,表明系统未来的所有运动都被限制在一个明确的范围之内。另一方面,运动轨迹变化缠绕的规则却是随机性的,任何时候你都无法准确判定运动的轨迹将落在“蝴蝶”的哪一侧翅膀上的哪一点上。也就是说,这个系统运动大的范围是确定的,可预测的;但是运动的细节是随机的,不可预测的。

举个例子:上海的外环有一辆公共汽车,汽车的路径就是完全围绕外环重复转圈,假如没有固定的公交车站,司机会随机性停车,请问你到哪里去等。这就是一个混沌状态,确定性与随机性的统一,你明明知道汽车肯定回来,而且将重复的经过,但就是不知道去哪一个地方去等它,因为它每次在停靠的地点都是不确定的。司机停在哪里是不可预测的,这种不可预测性本来应该是随机性系统才会具有的特性,却堂而皇之地出现在确定性系统中了。

确定性与随机性是描述动力学系统特点的一对范畴。在现实世界中,存在着各种动力学系统(动态系统)。动力学系统就是状态随时间改变的系统,它一般可分为确定性系统和非确定性系统。给定一个动力学系统,倘若它的后一时刻的状态惟一地取决于前一时刻的状态,未来行为惟一地取决于现在的行为,这种系统称为确定性系统。确定性系统中前后状态之间、未来行为与现在行为之间的因果性、必然性、精确性称为确定性。反之,给定一个系统,倘若它在某一时刻的状态和输入一经决定,下一时刻的状态和输入不能明确地惟一决定,这种系统称为非确定性系统。

现代混沌理论研究表明,一个确定性非线性系统在没有外部随机作用下,系统自身竟然内在地产生出随机性(内在随机性),体现了随机性存在于确定性之中,确定性自己规定自己为不确定性,确定性系统自己产出了随机运动。自然界是确定性与随机性的统一。

3、长期不可预测性

由于初始条件仅限于某个有限精度,而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响,因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性,即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。

4、分形性

局部与整体具有相似性,或者说在标度变换下具有相似性的几何形体。

例如中国的海岸线在中国地图上看是弯弯曲曲的,其局部例如浙江的海岸线,放大后从浙江地图上看也是弯弯曲曲的,两者间具有相似性,这样我们就说海岸线是分形的。

5、普适性

当系统趋于混沌时,所表现出的特征具有普适意义,其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化

6、遍历性

遍历性也称为混杂性,混沌运动在有限时间内能够到达混沌区域内任何一点。

7、奇异吸引子

奇异吸引子,又被称为奇怪吸引子或混沌吸引子,它是指事物在非线性(混沌)运动过程中,对其运行轨迹(秩序)具有关键性决定作用的范式,是混沌运动过程中内在的根本性结构。奇异吸引子具有分形结构和自相似性特征。

奇异吸引子具有不同属性的内外两种运动模式:在奇异吸引子外的一切运动都趋向于吸引子,即事物表面看似杂乱无章的运动在按照某种既定的规律或秩序在进行,属于事物发展过程中关键性的稳定因素。但是在奇异吸引子内部随时都在产生不稳定的变化,属于可能改变事物运动轨迹的不稳定的因素。


三、混沌理论的应用

混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用,包括:数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。

1、在通信领域的使用

通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务的兴起,对保密通信提出了更高的要求。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感,并导致了混沌信号的类随机特性。用它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而,调制混沌信号即使被敌方截获,也很难被破译,这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题。

2、在气象学中的应用

天气预报逐日预报的可预报时限大约是两三周左右的时间。混沌理论认为长期预报是不可能的。在近年的气象研究中,利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是非线性系统,其初值问题的数值解是不确定的,研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征,研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论,如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等。利用这些数学方法分别考察、分析气候状态变化。

3、在生物学中的应用

混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变化;医学诊断疾病等方面。

4、在经济学中的应用

像自然界的所有领域一样,在经济领域同样存在着混沌现象,蝴蝶效应。对此,美国赛纳尔公司首席执行官尼尔·帕特森对此有刻骨铭心的认识。就因为他向公司400名中层经理发出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了两成,逾3亿美元蒸发殆尽。类似的事情在经济学领域中数不胜数。由此而应运而生了经济混沌和经济波动的非线性动力学理论。

5、在管理决策中的应用

根据混沌理论,盖米尼咨询公司的奈尔·格拉斯在其撰写的《管理系列丛书》中指出过去作为决策基础的三个主要假定已经不再成立。这些假定是:

假定1:企业是一个"说到做到"的封闭系统。外界对企业决定采取的行动没有多大干扰。

假定2:经营环境是稳定的。管理者能够充分把握经营环境,从而制定出详尽具体的战略。

假定3:管理者对事件的因果关系有着足够的认识。他们能够顺藤摸瓜,找出每一事件将会导致的变化。

在格拉斯看来,这些旧的假定已经被三个新的现实所代替:

现实1:企业是复杂的"开放"系统,既影响着其所处的环境,又在很大程度上受环境的影响。这意味着,企业的行动可能无法达到它所预期的结果。

现实2:环境是瞬息万变的(不断创造着机会和威胁)。高层管理者不能指望制定出在付诸实施时仍完全有效的详尽战略。

现实3:作为传统决策理论基础的简单线性因果关系模型已经失灵。因此,各种事件的后果是无法预料的。

总结

混沌理论是普遍可预测论的对立面。它解释了为什么我们不能完全依赖计算机或其他纯理性的模型来制定决策。混沌系统是有序与无序共存的系统。该系统内部具有很多不可预测的偶发事件,但决定各要素行为的基本规律却是能够分析和掌握的,因为混沌仍是有规律的。

混沌理论把我们从盲目乐观的可预见性幻想中唤醒。这种来自牛顿力学的幻想已经使人类沉醉了三百年,并将世界简化到失真的地步,而现在世界将在一定程度上恢复其原有的复杂性。混沌是世界的秩序,秩序是人类的梦想。

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