计算机组成原理之数据的表示及运算

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0.1 2018.08.26 21:39* 字数 1044

计算机组成原理之数据的表示及运算

定点数

定点数:计算机中约定机器数小数点位置,小数点的位置固定的数。

  • 定点整数:小数点位置约定在最低位之后
  • 定点小数:小数点位置约定在最高位之后
编码方式 取值范围(n 位机器数,n从 0 开始数) 最大值(以 8 位机器数为例) 最小值
原码:最高位符号位,数据位为 2 进制真值 \ -2^{n} + 1 ~ 2^{n} -1 符号位取 0 ,数据位全 1 。0111 1111 : 127 符号位取 1,数据位全 1。1111 1111 : -127
反码:最高位为符号位,数据位为原码取反 \ -2^{n} + 1~ 2^{n} -1 0111 1111 : 127 1000 0000: -127
补码:反码值 + 1 。权值公式为-2^nx_n + \sum_{i=0}^{n-1}2^ix_i \ -2^{n}~ 2^{n} -1 0111 1111 : 127 1000 0000 -128
移码:补码符号位取反。 \ -2^{n}~ 2^{n} -1 1111 1111 : 127 0000 0000: -128

注:无符号数的编码具有唯一性。有符号数正数的原码、反码、补码相同,移码与补码符号位相反。

运算

移位运算
  • 算数移位:左移一次为乘 2 ,右移一次为除以 2
    • 算数移位的对象是带符号数,移位过程中符号位不变。
    • 正数移位直接添 0 ,负数原码反码移位直接添 0 ,补码左移添 0 ,右移添 1
  • 逻辑移位:添 0
  • 循环移位:带进位与不带进位的意思是数据位移动的时候带不带 CF 标志位。
    • 不带进位的循环移位:因移动而丢失掉的数据位要存储到 CF 标志位中。CF 标志位不参与循环。
定点数加减运算溢出判断

溢出:运算结果超过机器可以表示的数。ps:产生进位并不等于溢出。

  • 1 位符号位:两操作数符号同,结果与操作数符号不同,则溢出。
  • 2 位符号位:运算结果符号位 S1 异或 S2,结果为 1 则溢出。
    • 01:正溢出
    • 10:负溢出
    • 00:结果为正数,无溢出
    • 11:结果为负数,无溢出
  • 数据位最高位进位情况:与符号位进位不同则溢出。

强制类型转换

C 语言中的类型转换结果保持机器数位值不变,只是改变了解释这些位的方式。

  • 大字长变量向小字长变量转换时直接截断高位部分
  • 小字长变量向大字长变量转换时保持低位不变,高位扩展为原数字的符号位

浮点数

浮点数:小数点位置可变的数。 N = r^E \times M \text{, 浮点数格式定义。其中 M 为尾数,E 为阶数,r 为基数。}

浮点数一般表示形式.png

IEEE 754标准

IEEE754浮点数表示形式.png

V = (-1)^S \times 1.M\times 2^{E-e} \text{,IEEE 754标准的浮点数真值}

类型 数符 阶码 尾数 总位数 偏移量e
单精度浮点数 1 8 23 32 7FH
双精度浮点数 1 11 52 64 3FFH
临时浮点数 1 15 64 80 3FFFH

注:单精度与双精度浮点数采用隐藏尾数最高位策略,数据的最高位总是 1 ,隐藏最高位可以使尾数多表示 1 位有效位。

单精度浮点数值的分类.jpg

浮点数的加减运算

1. 规格化两操作数

为了提高运算精度,规定尾数的最高位数必须是一个有效值。

  • 单符号位规格化

    • 原码规格化后尾数数据位最高位为 1
    • 补码规格化后正数与原码同,负数数据位最高位为 0 ,形如 1.0XXX XX..
  • 双符号位规格化

    • 正数:00.1XXX XX..
    • 负数:11.0XXX XX..
  • 左规:尾数左移(小数点右移),阶数减小

  • 右规:尾数右移(小数点左移),阶数增大

ps:基数不同时,浮点数的规格化形式也不同。当基数为 4 时,浮点数尾数最高两位不全为 0;基数为 8 时,位数最高三位不全为 0。

2. 对阶

使两操作数阶数相等,小阶向大阶对齐,阶数增大尾数右移。

3. 尾数求和后规格化结果值
4. 舍入

对阶和右规过程中,尾数低位可能会丢失引起误差。

  • 0 舍 1 入法:尾数右移时被舍去的最高数值位为 0 则舍去;被舍去的最高数值位为 1 则在尾数的末位 +1
  • 恒置 1
  • 最简单的舍入方法是直接截断不做处理
浮点数溢出判断:阶码是否超过取值范围。下溢时仅当作机器 0 处理,上溢时计算机必须中断运算操作并进行溢出处理。

参考资料:《2019计算机组成原理考研复习指导》、《深入理解计算机系统》

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