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458.读书17~《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的迷》

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摹喵居士
2017.05.10 06:09* 字数 15699

2017.05.10

来自亚马逊

这本书非常推荐,可读性非常强。

所有的数学定理都讲得深入浅出,而且侧重于数学史,读起来很有武侠味道。

以下是一些书摘。

第一章 “我想我就在这里结束”
任何数学家都永远不要忘记 :数学 ,较之别的艺术或科学 ,更是年轻人的游戏 。
这个问题看上去如此简易 ,因为它立足于人人都能记住的一段数学术语 ——毕达哥拉斯 ( P y t h a g o r a s )定理 【 4 】 :在一个直角三角形中 ,斜边的平方等于两直角边的平方之和 。

费马大定理来自毕达哥拉斯的勾股定理

当一个数的各因数之和大于该数本身时 ,该数称为 “盈 ”数 。于是 1 2是一个盈数 ,因为它的因数加起来等于 1 6 。另一方面 ,当一个数的因数之和小于该数本身时 ,该数称为 “亏 ”数 。所以 1 0是一个亏数 ,因为它的因数 ( 1 , 2和 5 )加起来只等于 8 。
最有意义和最少见的数是那些其因数之和恰好等于其本身的数 ,这些数就是完满数 。数字 6有因数 1 , 2和 3 ,结果它是一个完满数 ,因为 1 + 2 + 3 = 6 。
毕达哥拉斯定理为我们提供了一个方程 ,它对一切直角三角形都成立 ,因而它也定义了直角三角形本身 。

经典的数学证明的办法是从一系列公理 、陈述出发 ,这些陈述有些可以是假定为真的 ,有些则是显然真的 ;然后通过逻辑论证 ,一步接一步 ,最后就可能得到某个结论 。如果公理是正确的 ,逻辑也无缺陷 ,那么得到的结论将是不可否定的 。这个结论就是一个定理 。

科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度 :它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的 。

科学理论是观察,达不到数学定理证明所具有的绝对程度

毕达哥拉斯三元组的另一种思考方式是利用重拼正方形的方法 。如果你有一个由 9块瓷砖组成的 3 × 3正方形 ,一个由 1 6块瓷砖组成的 4 × 4正方形 ,那么所有的瓷块可以拼起来组成一个有 2 5块瓷砖的 5 × 5正方形 ,如图 4所示 。
著名的费马大定理说 z n + y n = z n ,当 n > 2时没有整数解
怀尔斯写上了费马大定理的结论 ,转向听众 ,平和地说道 : “我想我就在这里结束 。 ”

第二章 出谜的人
费马是一个真正的业余学者 ,一个被埃里克 ·贝尔称为 “业余数学家之王 ”的人 。
最违背直觉的概率问题之一是关于共有生日的可能性问题 。假想有一个足球场上运动员和裁判一起共 2 3人 。那么 ,这 2 3人中的任何 2个人有相同的生日的概率是多少 ? 2 3个人 ,而可选择的生日有 3 6 5个 ,似乎极不可能会有人共有同一个生日 。如果请人估计这个概率是多少的话 ,绝大多数人恐怕会猜至多是 1 0 % 。事实上 ,正确的回答是刚好超过 5 0 % ——这就是说 ,根据概率的测算 ,球场上有 2个人有相同生日的可能性比没有人共有生日的可能性更大 。
欧几里得一生的大量时间花在撰写 《几何原本 》 ( E l e m e n t s )这本有史以来最成功的教科书上 。
英国数学家 G . H .哈代在他的 《一个数学家的自白 》这本书中概括了反证法的精髓 : “欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一 。它是比任何弈法更为精妙的弃子取胜法 :棋手可能牺牲一只卒子甚至更大的棋子以取胜 ,而数学家则牺牲整个棋局 。 ”

欧几里得的反证法

然后在 6 4 2年 ,一场伊斯兰教的进攻成功地打败了基督教徒 。当问及应该如何处置图书馆时 ,获胜的哈里发奥马尔 ( C a l i p h O m a r )命令凡是违反 《古兰经 》的书籍都应销毁 ,而那些与 《古兰经 》相符的书籍则是多余的 ,也必须销毁 。那些手稿被用作公共浴室加热炉的燃料 ,希腊的数学化为烟灰 。丢番图的绝大部分著作被毁灭了 ,这并不令人惊奇 。实际上 , 《算术 》中的 6卷能设法逃过亚历山大的这一场惨剧倒是一个奇迹 。

回头翻翻历史书,这6卷《算术》是怎么幸存下来的

在现代数学中 ,零有两个功能 。首先 ,它使我们得以区别 5 2和 5 0 2这样的数 。

伟大的0

公元 7世纪时的婆罗门笈多 ( B r a h m a g u p t a )是个足智多谋的学者 ,他把 “用零除 ”作为无穷大的定义 。

费马注意到 2 6被夹在 2 5和 2 7之间 ,其中的一个是平方数 ( 2 5 = 5 2 = 5 × 5 ) ,而另一个是立方数 ( 2 7 = 3 3 = 3 × 3 × 3 ) 。他寻找其他的夹在一个平方数和一个立方数之间的数都没有成功 ,于是他怀疑 2 6可能是唯一的这种数 。经过几天的发奋努力后 ,他设法构造了一个精妙的论证 ,无可怀疑地证明了 2 6确实是唯一的夹在一个平方数和一个立方数之间的数 。他逐步进行的逻辑证明表明 ,不存在别的数满足这个要求 。

平方和立方数之间的数只有26

突然 ,在才智迸发的一瞬间 ——这将使这位业余数学家之王名垂千古 ——费马写下了一个方程 ,尽管它非常类似于毕达哥拉斯的方程 ,但是却根本没有解存在 。这就是 1 0岁的安德鲁 ·怀尔斯在弥尔顿路上的图书馆中读到的那个方程 。费马不是考虑方程 x 2 + y 2 = z 2 ,他正在考虑的是毕达哥拉斯方程的一种变异方程 : x 3 + y 3 = z 3 。
如同上一章提到的那样 ,费马只不过将幂指数从 2改为 3 ,即从平方改为立方 ,但是他的新方程看来却没有任何整数解 。通过反复试算立即显示出 ,要找到两个立方数使它们加起来等于另一个立方数是困难的 。
在 《算术 》这本书的靠近问题 8的页边处 ,他记下了他的结论 : C u b e m a u t e m i n d u o s c u h o s , a u l q u a d r a t o q u a d r a t u m i n d u o s q u a d r a t o q u a d r a t o s , e t g e n c r a l i t e r n u l l a m i n i n f i n i t u m u l t r a q u a d r a t u m p o t e s t a t e m i n d u o s c i u s d e m n o m i n i s f a s e s t d i r i d e r e .
不可能将一个立方数写成两个立方数之和 ;或者将一个 4次幂写成两个 4次幂之和 ;或者 ,总的来说 ,不可能将一个高于 2次的幂写成两个同样次幂的和 。

但是费马却相信自己能够证明的一个结论 。在列出这个结论的第一个边注后面 ,这个好恶作剧的天才草草写下一个附加的评注 ,这个评注使一代又一代的数学家们为之苦恼 :
我有一个对这个命题的十分美妙的证明 ,这里空白太小 ,写不下 。

挑逗大家,只给定理不进行证明,但却透露证明的某些细节

幸运的是 ,费马的长子克来孟 -塞缪尔 ( C l é m e n t S a m u e l )意识到他父亲的业余爱好所具有的重要意义 ,决心不让世界失去父亲的发现 。正是由于他的努力 ,才使我们终究了解到一些费马在数论方面杰出的突破性进展 ;特别是 ,若不是由于克来孟 -塞缪尔 ,这个称为费马大定理的谜一定已经随同他的创造者一起消失了 。

成果全靠大儿子,大儿子不出版他注解的丢番图数论,后人就不知道这个定理

费马的质数定理断言 ,第一类的质数总是两个平方数之和 ( 1 3 = 2 2 + 3 2 ) ,而第二类质数永远不能写成这种形式 ( 1 9 = ? 2 + ? 2 ) 。质数的这个特性是出奇地简单 ,但是试图证明这个特性对每一个质数都成立却是十分困难 。对费马来说 ,这只不过是他许多不为人知的证明中的一个 。欧拉面临的这个挑战是重新发现费马的证明 。最终在 1 7 4 9年 ,经过 7年的工作 ,几乎是在费马去世后一个世纪 ,欧拉成功地证明了这个质数定理 。

欧拉解决了飞马的质数定理

随着几个世纪时光的流逝 ,所有他的其他评注一个接一个地被证明了 ,但是费马大定理却固执地拒绝被如此轻易地征服 。事实上 ,它之被称为 “最后 ”定理 【

费马大定理成了费马的最后定理

费马大定理是一个极为难解的问题 ,但是它却以一个小学生可以理解的形式来叙述 。

这种级别的定理,很少有小学生就能读懂的

费马大定理 ( F e r m a t ' s L a s t T h e o r e m )亦称费马最后定理 。 ——译者

第三章 数学史上暗淡的一页
数学不是沿着清理干净的公路谨慎行进的 ,而是进入一个陌生荒原的旅行 ,在那里探险者往往会迷失方向 。撰史者应该注意这样的严酷事实 :绘就的是地图 ,而真正的探险者却已消失在别处 。 ——W . S .安格林

探索数学的艰难

欧拉有着令人难以置信的直觉和超人的记忆力 ,据说他能够在头脑中详细列出一大堆完整无缺的演算式而无须用笔写在纸上 。在整个欧洲他被誉为 “分析的化身 ” ,法国科学院院士弗朗索瓦 ·阿拉戈 ( F r a n ç o i s A r a g o )说 , “欧拉计算时就像人呼吸或者鹰乘风飞翔一样无需明显的努力 ” 。

数学天才欧拉的生平,什么是天才

在他的科学生涯中 ,他曾处理过包括从航海到财政 ,从声学到灌溉等各种各样的问题 。参与解决实际问题并没有使欧拉的数学才能减弱 ,相反 ,每着手处理一个新任务总会激励欧拉去创造新颖的 、巧妙的数学 。

天才并不形而上,而是在解决实际问题中磨练自己

牛顿已经证明 ,预测一个星球围绕另一个星球运行的轨道是比较容易的 ,但对月球而言情况就不是这么简单 。月球绕地球运行 ,可是还有第三个星球 ——太阳 ,它使事情变得非常复杂 。在地球和月亮互相吸引的同时 ,太阳会使地球的位置发生摄动 ,产生对月球轨道的撞击效应 。可以用方程来确定其中任何两个星球之间的这种效果 ,但是 1 8世纪的数学家们还不能够在他们的计算中对第三个星球的影响加以考虑 。即使到今天 ,仍然不可能得到这个所谓的 “三体问题 ”的精确解 。

用月亮导航,就要解决月亮、太阳、地球的三体问题,无解

欧拉认识到航海者并不需要知道月球的绝对准确的位相 ,而只需要有足够的精度使得他们能在几海里范围内确定自己的位置 。结果 ,欧拉发展了一种方法 ,可以得到一个不完全的但充分准确的解 。

欧拉指出只要达到某些精度就足够了。反复求解,提高精度。

一个更为实在的 、也适合欧拉异想天开的本性的问题与普鲁士城市柯尼斯堡 ( K ö n i g s b e r g )有关 ,该地现为俄罗斯的加里宁格勒市 。这个城市建立在普雷格尔河边上 ,由 4个分离的 、被 7座桥连接起来的地区组成 。图 7显示了该城的布局 。有些非常好奇的居民在想 :是否可能设计一次旅行 ,穿越所有的 7座桥却无须重复走过任何一座桥 ?柯尼斯堡的居民试了各种各样的路线 ,但每一次都失败了 。欧拉也未能找到一条成功的路线 ,但他却成功地解释了为什么这样的旅行是不可能的 。

经典的过桥问题

网络公式表达了描述网络的 3个数之间的一个永恒的关系式 : V + R - L = 1 ,其中 V =网络中顶点 (即交点 )的个数 , L =网络中连线的个数 , R =网络中区域 (即围成的部分 )的个数 。欧拉宣称 :对任何网络 ,将顶点和区域的个数加起来并减去连线的个数 ,其结果将总等于 1 。

开始为证明费马大定理做准备

欧拉的计划已经有一个良好的开端 ,因为当时他发现了隐藏在费马草草写下的注记中的一条线索 。虽然费马从未写下过大定理的证明 ,但是他在他的那本 《算术 》书中别的地方隐蔽地描述了对特殊情况 n = 4的一个证明 ,并且在一个完全不同的问题的证明中采用了这个证明 。
费马在结束证明时说 ,由于缺少时间和纸使他无法详细地解释 。尽管费马潦草写下的内容中缺少细节 ,但是它们清楚地展示了一种特殊形式的反证法 ,称之为无穷递降法 。

费马证明n=4,发明无穷递降法

为了证明方程 x 4 + y 4 = z 4没有解 ,费马从假设存在一个假定解 x = X 1 , y = Y 1 , z = Z 1着手 。通过研究 ( X 1 , Y 1 , Z 1 )的性质 ,费马能够证明 :如果这个假定解确实存在 ,那么一定会存在一个更小的解 ( X 2 , Y 2 , Z 2 ) 。然后通过再研究这个新解的性质 ,费马又能证明存在一个还要小的解 ( X 3 , Y 3 , Z 3 ) ,这样一直进行下去 。于是费马找到了一列逐步递减的解 ,理论上它们将永远继续下去 ,产生越来越小的解 ,然而 , x , y和 z必须是整数 ,因此这个永无止境的梯队是不可能存在的 ,因为必定会有一个最小的可能解存在 。这个矛盾证明了最初的关于存在一个解 ( X 1 , Y 1 , Z 1 )的假设一定是错的 。
1 7 5 3年 8月 4日 ,欧拉在给普鲁士数学家克里斯蒂安 ·哥德巴赫 ( C h r i t i a n G o l d b a c h )的信中宣布 ,他采用费马的无穷递降法成功地证明了 n = 3的情形 。
为了将费马的证明从 n = 4延伸到包括 n = 3的情形 ,欧拉必须采用一个称为虚数的稀奇古怪的概念 ,这是欧洲数学家们在 1 6世纪曾经发现的概念 。

欧拉采用虚数证明n=3

在 1 6世纪期间 ,不安的隆隆声重又响起 。意大利数学家拉斐罗 ·邦贝利 ( R a f a e l l o B o m b e l l i )在研究各种数的平方根时碰巧遇到一个无法回答的问题 。这个问题开始于问1的平方根是什么 ?
邦贝利的解答是创造一个新的数 i ,称为 “虚数 ” ,它就被定义成问题 “ 1的平方根是什么 ”的解 。
虚数的来历

虚数是非凡思想的美好而奇妙的源泉 ,近乎于存在与非存在之间的两栖物 。
此外 ,物理学家发现虚数为描述现实世界的某些现象提供了最适用的语言 。在分析诸如钟摆之类物体的自由摆动运动时 ,借助虚数只需要做少量不复杂的运算 ,因而它是理想的工具 。

4 0年后 ,已经 6 0多岁的欧拉的状况大大地恶化了 。当时欧拉的另一只好眼得了白内障 ,这意味着他注定会彻底失明 。他决心不为之屈服 ,并开始练习闭上那只视力正在消退的眼睛进行书写 ,以便在黑暗袭来之前就使他的书写技术达到完美的程度 。几个星期后他变瞎了 。先前的练习起到一段时间的好效果 ,但是几个月后欧拉的字迹变得难以辨认 ,于是他的儿子阿尔贝 ( A l b e r t )担当起誊写员的角色 。

欧拉的很多成就是在失明之后完成

在费马去世一个世纪后 ,还只有对费马大定理的两个特殊情形的证明 。费马给数学家们开了个好头 ,为他们提供了方程 x 4 + y 4 = z 4无解的证明 。欧拉修改了这个方法 ,证明了方程 x 3 + y 3 = z 3无解 。
为了证明费马大定理对 n的一切值适合 ,我们仅仅需要证明它对 n的所有质数值适合 。所有其他的情形只不过是质数情形的倍数 ,因而无疑也会被证明 。
直觉会使人认为 ,如果你从一个无穷量开始 ,然后从中去掉它的一大部分 ,那么你会期望剩下的是有限的 。不幸的是 ,数学真理的仲裁者不是直觉 ,而是逻辑 。事实上 ,可以证明质数表是没有终端的 。于是 ,尽管可以忽略为数众多的与 n的非质数值相关的方程 ,剩下的与 n的质数值相关的方程的个数却仍然是无穷的 。

希尔伯特的旅馆似乎暗示所有的无穷都是彼此一样大的 ,因为各种各样的无穷似乎可以被挤进同样的无穷旅馆 ——全体偶数的无穷可以与全体自然数的无穷相匹配和对照 ,反过来也是如此 。然而 ,某些无穷确实要大于别的无穷 。例如 ,

无穷大之间也有大小区别

将每一个有理数与每一个无理数配对起来的企图最终会归于失败 ,事实上可以证明无理数组成的无穷集大于有理数组成的无穷集 。数学家们已经不得不建立一整套的术语来处理各种不同等级的无穷 ,而设想这些概念则是目前最热门的课题之一 。
举一个简单的例子 ,我可以交出非质数 5 8 9 ,这可能会使每个人都能代我打乱信息 。然而 ,我将保守 5 8 9的两个质因数的秘密 ,结果只有我能够整理信息 。

RSA公私钥

蝉的最佳策略是使它的生命周期的年数延长为一个质数 。由于没有数能整除 1 7 ,十七年蝉将很难得遇上它的寄生物 。如果寄生物的生命周期为 2年 ,那么它们每隔 3 4年才遇上一次 ;倘若寄生物的生命周期更长一些 ,比方说 1 6年 ,那么它们每隔 2 7 2 ( 1 6 × 1 7 )年才遇上一次 。

生物应用质数对抗寄生虫

在所有的欧洲国家中 ,法国对于受过教育的妇女的大男子主义态度表现得最为突出 ,声称数学不适合于妇女 ,并且是她们的智力不能承受的 。

女性和数学

由于阿尔加洛蒂相信妇女只对浪漫故事有兴趣 ,所以他试图通过一位侯爵夫人和她的对话者之间的挑逗性的对话来解释牛顿的发现 。例如 ,对话者概略地叙述了引力的反平方定律 ,于是侯爵夫人就谈她自己对这个物理基本定律的解释 : “我禁不住想到 … …位置的距离的平方这个比例 … …甚至在爱情中也可观察到 。因此 ,分别 8天以后 ,爱情就变得比第一天时弱 6 4倍了 。 ”

琼瑶式的数学

传奇故事说 ,在罗马军队入侵时 ,阿基米德正全神贯注于研究沙堆中的一个几何图形 ,以致忽略了回答一个罗马士兵的问话 。结果他被长矛戳死 。热尔曼得出这样的结论 :如果一个人会如此痴迷于一个结果会导致他死亡的几何问题 ,那么数学必定是世界上最迷人的学科了 。

为什么喜欢数学的原因

热尔曼终生未婚 ,在她的整个生涯中 ,是她的父亲资助她的研究工作 。

这个父亲真是了不起

她就冒名为这个学校以前的一个男学生安托尼 -奥古斯特 ·勒布朗 ( A n t o i n e A u g u s t L e B l a n c )先生偷偷摸摸地在学校里学习 。学校的行政当局不知道真正的勒布朗先生已经离开巴黎 ,所以继续为他印发讲课材料和习题 。热尔曼设法取得了原本给勒布朗的材料 ,并且每星期以她的这个新的化名交上习题的解答 。一切都按计划顺利地进行着 ,直到两个月后 ,当时这门课的指导教师约瑟夫 -路易斯 ·拉格朗日再也不能无视 “勒布朗先生 ”的习题解答中表现出来的才华 。拉格朗日感到震惊 ,他很高兴见到这个年轻的女学生并成为她的导师和朋友 。索菲 ·热尔曼终于有了一位能激励她前进的老师 ,她可以对他坦诚地展示她的才能和抱负 。

热尔曼终于被拉格朗日发现

她对这个问题研究了好几年 ,最后到达了她自信已经有了重要突破的阶段 。她需要和一位男性数学家讨论她的想法 ,并决定直接找最好的数学家去讨论 。于是她去请教当时世界上最杰出的数论家 ——德国数学家卡尔 ·弗里德里希 ·高斯 ( C a r l F r i e d r i c h G a u s s )

去找到了高斯帮助

高斯被公认为历史上最杰出的数学家之一 。 E . T .贝尔称费马为 “业余数学家之王 ” ,而将高斯称为 “数学家之王 ” 。

数学家之王

热尔曼采用了一种新的策略 ,她向高斯描述了所谓的对这个问题的一般处理方法 。换言之 ,她直接的目标并不是去证明一种特殊的情形 ,而是一次就得出适合许多种情形的解答 。
1 8 0 6年拿破仑入侵普鲁士 ,法国军队一个接一个地猛攻德国的城市 。热尔曼担心落在阿基米德身上的命运也会夺走她的另一个崇拜对象高斯的生命 ,因此她写了封信给她的朋友约瑟夫 -玛利埃 ·帕尼提 ( J o s e p h M a r i e P e r n e t y )将军 ,当时他正负责指挥前进中的军队 。她请求他保证高斯的安全 ,结果将军对这位德国数学家给予了特别的照顾 ,并向他解释是热尔曼小姐挽救了他的生命 。高斯非常感激 ,也很惊讶 ,因为他从未听说过索菲 ·热尔曼 。

热尔曼救了高斯一命

库默尔已经论证了费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的 。

证明费马大定理为什么当时无法证明

两个多世纪中 ,每一次试图重新发现费马大定理的证明都以失败告终 。在整个青少年时代 ,安德鲁 ·怀尔斯研究了欧拉 、热尔曼 、柯西和拉梅的工作 ,最后研究了库默尔的工作 。他希望自己能从他们的错误中学到一些有用的东西 ,可是到他成为牛津大学的学生时 ,也遭到了库默尔曾面临的同一堵砖墙的阻挡 。

怀尔斯同样面临库默尔的问题

第四章 进入抽象
证明是一个偶像 ,数学家在这个偶像前折磨自己 。

沃尔夫斯凯尔一行接一行地进行计算 ,突然他惊呆了 :似乎逻辑上有一个漏洞 ——库默尔提出了一个假定 ,却未能在他的论证中说明其合理性 ,沃尔夫斯凯尔不清楚到底是他发现了一个严重的缺陷呢还是库默尔的假定是合理的 。如果是前者 ,那么费马大定理的证明就有可能比许多人推测的容易得多 。

本来要自杀,但是发现了库默尔对费马大定理的缺陷,重获新生

在他 1 9 0 8年去世时 ,新遗嘱被宣读 ,沃尔夫斯凯尔家族震惊地发现保罗已经把他财产中的一大部分遗赠作为一个奖 ,规定奖给任何能证明费马大定理的人 。奖金为 1 0万马克 ,按现在的币值计算其价值超过 1 0 0万英镑 。这是他对这个挽救过他生命的复杂难题的报答方式 。

设立费马大定理奖金

虽然委员会将授予第一个证明费马大定理成立的数学家 1 0万马克 ,但他们对任何能证明它不成立的人则是一分钱也不给 。

证明不成立的人不给奖金

洛伊德最著名的创作是 “ 1 4 —1 5 ”智力玩具 ,它相当于维多利亚时代的魔方 【 4 】 ,

维多利亚时代的魔方,提出了扭结问题

一个天文学家 、一个物理学家和一个数学家 (据说 )正在苏格兰度假 。当他们从火车车厢的窗口向外瞭望时 ,观察到田地中央有一只黑色的羊 。 “多么有趣 , ”天文学家评论道 , “所有的苏格兰羊都是黑色的 ! ”物理学家对此反驳说 : “不 ,不 !某些苏格兰羊是黑色的 ! ”数学家祈求地凝视着天空 ,然后吟诵起来 : “在苏格兰至少存在着一块田地 ,至少有一只羊 ,这只羊至少有一侧是黑色的 。 ”

说话严谨

公理的一个例子是 “加法交换律 ” ,它直截了当地说 :对任何数 m和 n , m + n = n + m

公理

希尔伯特相信 ,数学中的一切能够而且也应该根据基本的公理加以证明 。

认为理所当然

这样做的结果 ,最终将是要证明数学体系中的两个最重要的基本要求 。首先 ,数学应该 (至少在理论上 )有能力回答每一个问题 ——这与对完全性的要求是相同的 ,这种要求在过去曾迫使数学家创造出像负数和虚数这样的新的数 。其次 ,数学不应该有不相容性 ——那就是说 ,如果用一种方法证明了某个命题是对的 ,那么就不可能用另一种方法证明这同一命题是错的 。

1 9 0 0年 8月 8日希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上做了一个历史性的演讲 。希尔伯特提出了数学中的 2 3个未解决的问题 ,他相信这些问题是最迫切需要解决的重要问题 。

希尔伯特想要激励数学界来帮助他实现他的建立可信的并且相容的数学体系的梦想 ——他铭刻在他的墓碑上的雄心壮志 : W i r n ü s s s e n w i s s e n , W i r w e r d e n w i s s e n .我们必须知道 ,我们将会知道 。

这封信使弗雷格的这本融注着他生命的著作变得毫无价值 ,但是他置这个致命的打击于不顾 ,仍然出版了他的巨著 ,只是在第 2卷中添加了一个后记 : “正当工作完成时 ,基础却倒塌了 ,科学家也许不会遭遇比这更不幸的结局了 。当本书即将印刷完毕时 ,伯特兰 ·罗素先生给我的一封信使我陷入的正是这种困境 。 ”

高风亮节,书的结尾提到了自己的书是错的

罗素的悖论经常是用一个细心的图书管理员的故事来说明的 :于是 ,使得图书管理员毫无办法的不相容性也会在所设想的数学逻辑结构中引起问题 。
图书管理员的悖论

例如 ,反证法这个有力工具要依赖于数学中没有悖论这个前提 。反证法说 ,如果一个假定导致荒谬 ,那么这个假定一定是错的 。但是按照罗素的结论 ,即使公理也可能导致荒谬 。因而反证法可以证明一个公理是错的 ,可是公理是数学的基础 ,而且被承认是对的 。

罗素又花了 1 0年的时间考虑数学公理 ,这正是数学的本质 。然后在 1 9 1 0年 。他与阿尔弗莱德 ·诺思 ·怀特海 ( A l f r e d N o r t h W h i t e h e a d )合作出版了 3卷本的 《数学原理 》指南 ,到 1 9 3 0年希尔伯特退休时 ,希尔伯特相信数学已经正常地走上了重建的道路 。他的逻辑相容的 、有能力回答每一个问题的数学梦想显然正在成为现实 。

然而在 1 9 3 1年 ,一位不出名的 2 5岁的数学家发表了一篇注定会永远毁灭希尔伯特的希望的论文 。库特 ·哥德尔迫使数学家们承认数学永远不可能是逻辑上完美无缺的 ,他的论文中蕴含着像费马大定理这类问题可能是无法解决的这种观念 。

哥德尔证明了要想创立一个完全的 、相容的数学体系是一件不可能做到的事情 。他的思想可以浓缩为两个命题 。
第一不可判定性定理如果公理集合论是相容的 ,那么存在既不能证明又不能否定的定理 。
第二不可判定性定理不存在能证明公理系统是相容的构造性过程 。
本质上 ,哥德尔的第一个定理说 ,不管使用哪一套公理 ,总有数学家不能回答的问题存在 ——完全性是不可能达到的 。
更糟的是 ,第二个定理说 ,数学家永远不可能确定他们选择的公理不会导致矛盾出现 ——相容性永远不可能证明 。
幸运的是 ,哥德尔的第一个定理除了用罗素的悖论和图书管理员的故事说明以外 ,也可以用另一个由埃庇米尼得斯 ( E p i m e n i d e s ) 【 5 】提出的逻辑上相似的东西来说明 ,称为克里特人悖论或说谎者悖论 【 6 】 。埃庇米尼得斯是一个克里特人 ,他愤怒地大叫 : “我是一个说谎者 ! ”

这不就是类似我很多年前问的“没有什么事情是一成不变的”

哥德尔给说谎者悖论以新的解释并引入了证明的概念 。其结果就下面一行表达的一个命题 :这个命题没有任何证明 。

斯坦福大学的一位 2 9岁的数学家保罗 ·科恩 ( P a u l C o h e n )发展了一种可以检验给定的问题是不是不可判定的方法 。

费马大定理可能是对的 ,但是可能没有方法证明它 。

费马大定理足以引起我们的好奇心 。哥德尔的不可判定性定理已经给这个问题是否可解带来了可疑因素 ,但是这还不足以吓退真正的费马迷 。

第二次世界大战恰好提供了所需要的这个东西 ——自从计算尺发明以来计算能力的又一次大飞跃 。

战争结束后 ,图灵继续建造越来越复杂的机器 ,例如自动计算机器 ( A C E ) 。 1 9 4 8年他到曼彻斯特大学工作 ,建造了世界上第一台有电子存储程序的计算机 。

计算机应用到解决数学问题

那些仍然为费马大定理而奋斗的数学家们开始用计算机来进攻这个问题 ,他们依靠的是改用计算机来进行库默尔在 1 9世纪做过的计算 。

开始用计算机算费马大定理

在 1 7世纪 ,数学家们经仔细的探究证明了下面的这些数都是质数 : 3 1 , 3 3 1 , 3 3 3 1 , 3 3 3 3 1 , 3 3 3 3 3 1 , 3 3 3 3 3 3 1 , 3 3 3 3 3 3 3 1 。这个序列以后的数变得非常大 ,因而得花很大的工夫才能核对它们是否是质数 。当时有些数学家对据此形式作出推断发生了兴趣 ,认为所有这种形式的数都是质数 。然而 ,这种形式的下一个数 3 3 3 3 3 3 3 3 1结果却不是质数 :
3 3 3 3 3 3 3 3 1 = 1 7 × 1 9 6 0 7 8 4 3 。

一个例子,不能光靠试几个数就拍脑袋

科茨决定怀尔斯应该研究数学中被称为椭圆曲线的领域 。后来证明这个决定是怀尔斯职业生涯的一个转折点 ,为他提供了他攻克费马大定理的新方法所需要的工具 。

怀尔斯开始研究椭圆曲线

“椭圆曲线 ”这个名称有点使人误解 ,因为在正常意义上它们既不是椭圆又不弯曲 ,它们只是如下形式的任何方程 : y 2 = x 3 + a x 2 + b x + c ,这里 a , b , c是任何整数 。它们之所以有这个名称 ,是因为在过去它们被用来度量椭圆的周长和行星轨道的长度 。

什么是椭圆方程

证明这个椭圆方程只有一组整数解是非常困难的事情 ,事实上正是皮埃尔 ·德 ·费马发现了这个证明 。你可能记得在第二章中正是费马证明 2 6是宇宙中仅有的夹在一个平方数和一个立方数之间的数 。

费马的25,26,27正好和椭圆方程有关

第五章 反证法
数学家的模式 ,像画家或诗人的一样 ,必须是美的 ;各种思想 ,像色彩或辞藻一样 ,必须以和谐的方式组合在一起 。美是首要的标准 ,丑陋的数学不可能永世长存 。

当博学多才的法国人亨利 ·庞加莱 ( H e n r i P o i n c a r é )在 1 9世纪研究模形式时 ,他曾利用它们丰富的对称性克服了重大的困难 。

就是庞加莱猜想那个人

哈佛大学的巴里 ·梅休尔 ( B a r r y M a z u r )教授目睹了谷山 -志村猜想的产生 。 “这是一个神奇的猜想 ——推测每个椭圆方程伴随着一个模形式 ——但是一开始它就被忽视了 ,因为它太超前于它的时代 。当它第一次被提出时 ,它没有被着手处理 ,因为它太使人震惊 。其中一位演说者 ——来自萨尔布吕肯的格哈德 ·弗赖 ( G e r h a r d F r e y )虽然没有对如何解决这个猜想提供任何新的想法 ,但是他确实提出了引人注目的论断 ,即如果有人能证明谷山 -志村猜想 ,那么他们也立即能证明费马大定理 。当弗赖站起来准备演讲时 ,他先写下了费马方程 : x n + y n = z n ,这里 n > 2 。
所以他把这些未知数用字母编号为 A , B和 C : A N + B N = C N 。
弗赖使具有这个假设解的费马
方程变成为 : y 2 = x 3 + ( A N - B N ) x 2 - A N B N 。
通过将费马方程转变为一个椭圆方程 ,弗赖将费马大定理和谷山 -志村猜想联系了起来 。
然后 ,弗赖向他的听众指出 ,他的由费马方程的一个解做出的椭圆方程是非常稀奇古怪的 。事实上 ,弗赖声称他的椭圆方程是如此不可思议以至于它的存在产生的影响将毁灭谷山 -志村猜想 。

解决谷山-志村猜想,就等于解决了费马大定理

几百年来第一次 ,世界上最坚硬的数学问题看起来变得脆弱了 。根据弗赖的说法 ,证明谷山 -志村猜想是证明费马大定理的唯一障碍 。
弗赖已经清楚地规定了人们面前的任务 。如果数学家能首先证明谷山 -志村猜想 ,那么他们就自动地证明了费马大定理 。
甚至连已经做出了关键的突破性工作的肯 ·里贝特也很悲观 : “绝大多数人相信谷山 -志村猜想是完全无法接近的 ,我是其中的一个 。我没有真的费神去试图证明它 ,我甚至没有想到过要去试一下 。安德鲁 ·怀尔斯大概是地球上敢大胆梦想可以实际上证明这个猜想的极少数几个人之一 。 ”

事实证明,谷山-志村猜想同样难以证明

第六章 秘密的计算
一个高超的问题解答者必须具备两种不协调的素质 ——永不安分的想象和极具耐心的执拗 。

我必须做的一切就是证明谷山 -志村猜想 。它意味着我童年的梦想现在成了体面的值得去做的事 。我懂得我绝不能让它溜走 。我十分清楚我应该回家去研究谷山 -志村猜想 。 ”
怀尔斯放弃了所有的与证明费马大定理没有直接关系的工作 ,不再参加没完没了的学术会议和报告会 。
为了不引起怀疑 ,怀尔斯设计了一个狡猾的策略 ,使他的同事们无从觉察 。在 8 0年代早期 ,他一直在从事对特殊类型的椭圆方程的重要研究 ,他本来打算将这方面的结果完整地发表 ,但里贝特和弗赖的发现使他改变了主意 。怀尔斯决定一点一点地发表他的研究成果 ,每隔 6个月左右发表一篇小论文 。

狡猾地开始费马大定理的工作

归纳法是一种极有效的证明形式 ,因为它允许数学家通过只对一种情形证明某个命题的办法 ,来证明该命题对无限多个情形都成立 。

什么是归纳法

伽罗瓦将所有的五次方程分成两类 :可解的和不可解的 。然后 ,对可解的那类方程 ,他设计了寻找解的方法 。此外 ,伽罗瓦探讨了高于五次的 ,包括 x 6 , x 7等在内的高次方程 ,并且能够判定它们中哪些是可解的 。这是 1 9世纪数学中由一位它的最悲惨的英雄创造的一件杰作 。
伽罗瓦的演算中的核心部分是称为 “群论 ”的思想 ,他将这种思想发展成一种能攻克以前无法解决的问题的有力工具 。
用来定义群的一个重要性质是 :当它的任何两个元素用这种运算结合时 ,其结果仍是群中的一个元素 。这个群被称为在该运算下是封闭的 。
例如 ,整数在 “加法 ”运算下构成一个群 。一个整数和另一个整数在加法运算下得出第三个整数 ,例如4 + 1 2 = 1 6在加法运算下所有可能的结果仍在整数中间 ,因此数学家们说 “整数在加法下是封闭的 ”或 “整数在加法下构成一个群 ” 。
然而 ,如果考虑更大一些的包括分数在内的群 ,即所谓的有理数 ,那么封闭性可以重新获得 : “有理数在除法下是封闭的 ” 。
在这样说的时候 ,仍然需要很当心 ,因为用元素零去除的时候结果成为无穷大 ,这是数学中害怕出现的结果 。由于这个原因 ,更正确的说法是 : “有理数 (除了零以外 )在除法下是封闭的 ” 。
正是这个由五次方程的解构造的群 ,使得伽罗瓦能够推导出他关于这些方程的结果 。一个半世纪以后 ,怀尔斯将利用伽罗瓦的工作作为他证明谷山 -志村猜想的基础 。

天才伽罗瓦发明群论,怀尔斯用这个解决费马大定理

为了证明谷山 -志村猜想 ,数学家们必须证明 :无限多个椭圆方程中的每一个可以和一个模形式相配对 。他们曾尝试先证明某一个椭圆方程的全部 D N A (即 E -序列 )可以与一个模形式的全部 D N A (即 M -序列 )相配 ,然后他们再转移向下一个椭圆方程 。虽然这是一种完全可以想得到的处理方式 ,但是还没有人找到一种能对无限多个椭圆方程和模形式反复地重复这个过程的方法 。
怀尔斯以一种根本不同的方式来对付这个问题 。
怀尔斯想要证明的是每一个 E -序列中的第一个基因 ,可以和每一个 M -序列中的第一个基因配对 。然后他将继续去证明 ,每一个 E -序列中的第二个基因 ,可以和每一个 M -序列中的第二个基因配对 ,依此类推 。
在旧的方法中 ,一旦你证明了某一个 E -序列的全部元素与一个 M -序列的全部元素可以配对 ,那么你就必须要问 :哪一个 E -序列和 M -序列是我接着要尝试配对的 ?
在怀尔斯的方法中 ,极为关键的是 E -序列中的基因确实有自然的次序 ,因而在证明了所有的第一个基因配对 ( E 1 = M 1 )后 ,下一步
显然就是证明所有的第二个基因配对 ( E 2 = M 2 ) ,依此类推 。
这种自然的次序恰恰是怀尔斯为建立一个归纳法证明所需要的 。
当怀尔斯认识到伽罗瓦的群的力量时 ,他实现了第一步 。
每一个椭圆方程的一小部分解可以用来构成一个群 。经过几个月的分析 ,怀尔斯证明了这个群会导致一个不可否认的结论 ——每一个 E -序列的第一个元素确实可以和一个 M -序列的第一个元素配对 。
达到这个程度已经花去 2年的时间 ,还没有任何迹象表明还需要多少时间才能找到推进证明的方法 。

怀尔斯第1步完成

怀尔斯很明白他面前的任务 : “你可能会问我 ,怎么能够决心把无法预料其限度的时间投入到一个可能根本无法解决的问题中去 。回答是 ,我就是喜欢研究这个问题 ,我被迷住了 。我乐意用我的智慧与它相斗 。

喜欢解谜的过程

是有力到足以证明谷山 -志村猜想 ,因此也不能证明费马大定理 ,但是总会证明某些别的东西 。我并不是在走向一个偏僻的小胡同 ,它肯定是一种好的数学 ,这一直是真的 。确实有可能我将永远证明不了费马大定理 ,但是绝不存在我完全在浪费我的时间这样的问题 。 ”

即使无法解决费马,也能带来数学上其他方面的突破

1 9 8 8年 3月 8日 ,怀尔斯读到宣布费马大定理已被证明的头版标题 ,大吃一惊 。 《华盛顿邮报 》和 《纽约时报 》宣称东京大学 3 8岁的宫冈洋一 ( Y o i c h i M i y a o k a )已经发现了这个世界头号难题的解法 。在波恩 ,宫冈描述了他怎样从一个全新的角度 ,即从微分几何学的角度出发来处理这个问题的 。
宫冈的处理方式和怀尔斯的处理方式相似之处在于他们都试图通过把大定理与另一个不同数学领域中的基本猜想联系起来加以证明 。这个数学领域在宫冈的情形中是微分几何 ,而对怀尔斯来说则是椭圆方程和模形式 。
这位日本数学家本质上是一位几何学家 ,他没有能做到绝对严格地将他的思想转换到他不够熟悉的数论领域 。一支数论家的大军试图帮助宫冈补救错误 ,但他们的努力终告失败 。
从最初的声明算起两个月后 ,一致的意见是原来的证明注定是失败的 。
宫冈还是做出了新的有趣的数学成果 。他的证明中的许多独特的部分 ,作为微分几何学在数论中的精妙应用 ,具有其本身的存在价值 ,后来被一些别的数学家进一步发展 ,用于证明其他的一些定理 ,不过绝不是费马大定理 。

有其他数学家从其他方向进攻费马大定理,但是失败,可是同样有了重大收获

在纽约的第八街地铁车站出现了乱涂在墙上的新的俏皮话 : x n + y n = z n :没有解对此 ,我已经发现一种真正美妙的证明 ,可惜我现在没时间写出来 ,因为我的火车正在开来 。

戏谑的笑话

怀尔斯借用穿越一幢漆黑的未经探测的大厦的经历来描述他在做数学研究时的感受 。 “设想你进入大厦的第一个房间 ,里面很黑 ,一片漆黑 。你在家具之间跌跌撞撞 ,但是逐渐你搞清楚了每一件家具所在的位置 。最后 ,经过 6个月或再多一些的时间 ,你找到了电灯开关 ,打开了灯 。突然整个房间充满光明 ,你能确切地明白你在何处 。然后 ,你又进入下一个房间 ,又在黑暗中摸索了 6个月 。因此 ,每一次这样的突破 ,尽管有时候只是一瞬间的事 ,有时候要一两天的时间 ,但它们实际上是这之前的许多个月里在黑暗中跌跌撞撞的最终结果 ,没有前面的这一切它们是不可能出现的 。 ”
怀尔斯并不气馁 ,他又坚持了一个年头 。他开始研究一种称为岩沢理论 ( I w a s a w a t h e o r y )的技术 。岩沢理论是分析椭圆方程的一种方法 ,怀尔斯在剑桥当约翰 ·科茨的学生时已经学过 。虽然这个方法本身不足以解决问题 ,但他希望能够修改它 ,使它变得足够有力 ,能产生多米诺骨牌效应 。

学习新的技术

从 1 9 8 6年开始研究费马大定理以来 ,他已两次当了父亲 。他放松一下情绪的唯一方式是和 “孩子们在一起 。年幼的孩子们对费马毫无兴趣 ,他们只需要听故事 ,他们不想让你做任何别的事情 ” 。

还不忘生两个孩子

理论上 ,这个新方法可以将怀尔斯的论证从椭圆方程的第一项扩展到椭圆方程的所有各项 ,并且有可能它对每一个椭圆方程都有效 。科利瓦金教授设计了一种极其强有力的数学方法 ,而马瑟斯 ·弗莱切将它进一步改进 ,使得它更具潜力 。他们两个谁也没有意识到怀尔斯打算把他们的工作用到世界上最重要的证明中去 。
不幸的是 ,科利瓦金 -弗莱切方法对一种特殊的椭圆方程能行得通 ,但不一定对别的椭圆方程行得通 。

修改新学到的技术

经过 6年的艰苦努力 ,怀尔斯相信胜利已经在望 。每个星期他都有进展 ,证明了更新 、更大族的椭圆曲线一定是可模形式化的 。
于是 ,大约在 1 9 9 3年 1月份的上半月 ,我决定有必要向一个人吐露秘密 ,而他应该是一位我正在使用的那一类几何方法方面的专家 。我需要非常小心地挑选这个我要告知秘密的人 ,因为他必须保守住秘密 。我选择了向尼克 ·凯兹 ( N i c k K a t z )吐露秘密 。 ”
他们认定最好的策略是宣布举行一系列面向系里研究生的讲座 。怀尔斯将讲授一个课程 ,而凯兹将会是听众之一 。这个课程将有效地
包括需要核对的那部分证明 ,但是研究生们是不会知道这一点的 。
系列讲座一结束 ,怀尔斯就专心致志于努力完成证明 。他成功地将科利瓦金 -弗莱切方法应用于一族又一族的椭圆方程 ,到这个阶段 ,只剩下一族椭圆方程拒绝向这个方法让步 。怀尔斯描述了他怎样试图完成证明的最后一步 : “ 5月末的一个早晨 ,内达和孩子们一起出去了 ,我坐在书桌旁思考着这剩下的一族椭圆方程 。我随意地看一下巴里 ·梅休尔的一篇论文 ,恰好其中有一句话引起了我的注意 。它提到一个 1 9世纪的构造 ,我突然意识到我应该能够使用这个结构来使科利瓦金 -弗莱切方法也适用于这最后的一族椭圆方程 。我一直工作到下午 ,忘记了下去吃午饭 。到了大约下午三四点钟的时候 ,我真正地确信这将解决最后剩下的问题 。当时已到饮茶休息的时候 ,我走下楼去 ,内达非常惊奇我来得这么迟 。然后我告诉她 ——我已经解决了费马大定理 。 ”

巧妙地开了个课,借助课程和其他人秘密合作

经过 7年的专心努力 ,怀尔斯
完成了谷山 -志村猜想的证明 。作为一个结果 ,经历了 3 0年对它的梦想 ,他也证明了费马大定理 。现在是将它向全世界公布的时候了 。
回顾 1 9 2 0年 ,当时 5 8岁的大卫 ·希尔伯特在格丁根作了一个关于费马大定理的公开演讲 。当被问及是否这个问题会被解决时 ,他回答说他可能活不到看见这一天 ,但是也许在座的年轻人会亲眼看到答案 。希尔伯特对解答的日期所作的估计证明是相当准确的 。
怀尔斯的演讲和沃尔夫斯凯尔奖在时间上也很相称 。保罗 ·沃尔夫斯凯尔按他的遗愿规定了截止日期为 2 0 0 7年的 9月 1 3日 。
巴里 ·梅休尔已经得到怀尔斯给的一份这个证明的复印件 ,但即使这样 ,他也依然对这个演讲感到惊讶 : “我从未见过如此辉煌的演讲 ,充满了如此奇妙的思想 ,具有如此戏剧性的紧张 ,准备得如此之好 。 ”
我说 : ‘我想我就在这里结束 。 ’接着会场上爆发出一阵持久的鼓掌声 。 ”

在牛顿研究所,宣读自己的成果。

志村教授是在他阅读 《纽约时报 》的头版报道 ——《终于欢呼 “我发现了 ! ” ,久远的数学之谜获解 》时第一次了解到有关对他自己的猜想的证明 。

志村活着看到自己的猜想被证明,谷山则早已自杀

第七章 一点小麻烦
随着怀尔斯和审稿人否认证明有缺陷 ,或者至少是拒绝评论 ,外界的猜测开始变得放肆起来 。
怀尔斯向彼得 ·萨纳克承认情况已面临绝境 ,他准备承认失败 。
当泰勒重新探索和检验一些替换的方法时 ,怀尔斯决定在 9月份最后一次检视一下科利瓦金 -弗莱切方法的结构 ,试图确切地判断出它不能奏效的原因 。他生动地回忆起那些最后的决定性的日子 : “ 9月 1 9日 ,一个星期一的早晨 ,当时我坐在桌子旁 ,检查着科利瓦金 -弗莱切的方法 。这倒不是因为我相信自己能使它行得通 ,而是我认为至少我能够解释为什么它行不通 。我想我是在捞救命稻草 ,不过我需要使自己放心 。突然间 ,完全出乎意料 ,我有了一个难以置信的发现 。我意识到 ,虽然科利瓦金 -弗莱切方法现在不能完全行得通 ,但是我只需要它就可以使我原先采用的岩沢理论奏效 。我认识到科利瓦金 -弗莱切方法中有足够的东西使我原先的 3年前的工作中对这个问题的处理方法取得成功 。所以 ,对这个问题的正确答案似乎就在科利瓦金 -弗莱切的废墟之中 。 ”
单靠岩沢理论不足以解决问题 ,单靠科利瓦金 -弗莱切方法也不足以解决问题 ,它们结合在一起却可以完美地互相补足 。

两个新技术相互配合,解决了最后的瑕疵

在她生日晚宴后一会儿 ,我把完成了的手稿送给了她 。我想她对那份礼物比我曾送给她的任何别的礼物更为喜欢 。 ”

作为献给妻子的礼物


下期预告:景山万春亭中秋赏月


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