×

台湾国立清华大学微积分—高淑蓉

96
yorickshan
2016.07.16 22:03* 字数 4114

修学储能,先博后渊

提升能力,包括学习能力

读书是最容易的事了


数学建模:口语/社会问题—>数学化,转化成数学问题—>得出结论,并将其转换成口语

数学是科学之母

高中-基本知识  知道答案就好了 what

大学-解决问题的能力和方法(证明)  注重通过方法论获得答案,解决问题,改善现状 whay&how

如何学到解决问题的方法


极限,左极限,右极限

整个微积分的内容是由极限堆积而成的,在不同的阶段讲不同东西的极限,微积分就是极限,极限就是微积分,微积分的整个内容都是在讲极限

连续是极限,微分是极限,积分是极限,极限是什么

定义——>定其义——>规定  (规定没有对错,比如交通上的左行和右行)

定义是数学上的规定


相关术语的理解

定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。

定理一般都有一个设定——一大堆条件。然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述。通常写作“若条件,则结论”。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。

定律是对客观事实的一种表达形式,通过大量具体的客观事实归纳而成的结论。

定律是一种理论模型,它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界,在其它尺度下可能会失效或者不准确。没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况,也没有任何一种理论可能完全正确。

公理是一个不证自明的真理,其他知识必须依靠它们,而且其他知识从它们而建造。在这种情况下的一个公理可以在你知道任何其他命题之前就知道。不是所有知识论学者认可任何这个意义上的公理存在。

在逻辑和数学中,公理不必须是不证自明的真理,而是用在演绎中生成进一步结果的一个形式逻辑表达式。要公理化一个知识系统就是证实所有它的主张都可以从一个相互独立的句子的小集合推导出来。这不暗示着它们可以独立的获知;并且典型的有多种方式来公理化一个给定的知识系统(比如算术)。数学家区别两种类型的公理: 逻辑公理和非逻辑公理。

定则是人们为了描述某一事物而假定的规则,

或许从英文单词的不同可以理解以下他们的区别:

定义·定则·定理·定律,公理的英文分别是:  Definition· Formula· Theorem· Law,axiom

怎样理解定义、定理、公理和定律?

对定义的理解是,对于一个名词或术语的意义的规定就是这个名词或术语的定义。例如,“如果整数a能被自然数b整除,那么a叫做b的倍数,b叫做a的约数”,这就是倍数、约数的定义。又如,“大于直角而小于平角的角叫做钝角”,这就是钝角的定义。

把概念用文字或语言表达出来,叫做给这个概念下定义。给概念下定义常用两种方法:一种叫做内涵法,一种叫做外延法。

用内涵法定义概念采用如下公式:

被定义概念=邻近的种+类差。

例如,四边形就是平行四边形邻近的种。类差就是被定义的概念区别于种概念的本质属性。例如,平行四边形区别于其他四边形的本质属性是它的两组对边分别平行,这样便得出平行四边形的定义:“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。

用外延法定义概念,就是把概念所反映的具体对象一一罗列出来。例如,有理数的定义就是采用了外延法。即“整数和分数统称为有理数”。

定义有两个任务:

(1)把被定义的对象同其他对象区别开;

(2)揭示出被定义对象的本质属性。

对定理的理解是,能用推理的方法证明是正确的命题叫做定理。例如,“如果两个数都能被同一个自然数整除,那么它们的和也能被这个自然数整除”。又如,“对顶角相等”。这些都是定理。每个定理都包含“条件”和“结论”两个部分,条件是已知的部分,结论是从条件经过推理而得到的结果。

对公理的理解是,人们在实践中反复验证过的,并且不需要再加以证明就被公认的真理叫做公理。例如,“经过两点可以作一条直线,并且只可以作一条直线”;“经过直线外的一点,只可以作一条直线和这条直线平行。”

对定律的理解是,在数学中,具有某种规律性的结论叫做定律。例如,乘法对加法的分配律(a+b)c=ac+bc,就是定律。

定义(Definition)

定义是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义;被定义的事务或者物件叫做 被定义项,其定义叫做 定义项。

对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说明。相当于数学上的对未知数的设定赋值,比如“设某未知数为已知字母x以便于简化计算,”对某个命名的词汇赋与一定的意义或形象,则有利于交流中的识别及认同。

命名和定义总是相伴而生,用已知的熟知的来解释和形容未知的陌生的事物并加以区别,这是一个理论界的真理。

命名和定义是理论的前提。命名和定义是展开理论的前提。

定理(Theorem)

是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有(全称)元素一种不变的关系,这些元素可以是无穷多,它们在任何时刻都无区别地成立,而没有一个例外。

猜想是相信为真但未被证明的数学叙述,或者叫做命题,当它经过证明后便是定理。

猜想是定理的来源,但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程,成为定理

引理(Lemma)

引理是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题,其意义并不在于自身被证明,而在于为达成最终目的作出贡献。

一个引理可用于证明多个结论。引理和定理没有严格的区分。

推论(也称为 系, 系理)(Inference)

推论是指能够 “简单明了地” 从前述命题推出的论断。

推论往往在定理后出现; 如果命题 B 能够被简单明了的从命题 A 推导出,则称 B 为 A 的推论。

“推论”, “定理”, “命题” 等术语的使用区别往往是比较主观的。 因为 “简单明了” 这个定义本来同作者及上下文相关。

当然,推论一般被认为不如定理重要。

定律(Law)

为研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论,不同于理论、假设、定义、定理,是对客观事实的一种表达形式,通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。

科学定律是一种理论模型,它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界,在其它尺度下可能会失效或者不准确。 没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况,也没有任何一种理论可能完全正确。

var script = document.createElement('script'); script.src = 'http://static.pay.baidu.com/resource/baichuan/ns.js'; document.body.appendChild(script);

公理(Axiom)

在传统逻辑中,公理是没有经过证明,但被当作不证自明的一个命题。因此,其真实性被视为是理所当然的,且被当做演绎及推论其他(理论相关)事实的起点。当不断要求证明时,因果关系毕竟不能无限地追溯,而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单,且符合直觉,如“a+b=b+a”。 不同的系统,会预计不同的公理。

在这两种意义之下,公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同,一个公理(除非有冗余的)不能被其他公理推导出来,否则它就不是起点本身,而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

逻辑公理通常是被视为普遍为真的陈述(如 (A ∧ B) → A),而非逻辑公理(如a + b = b + a)则实际上是在一特定数学理论(如算术)中的定义性的性质。在后者的意思之下,公理又可被称为“公设”。

理论(Theory)

理论又称学说或学说理论,指人类对自然、社会现象,按照已有的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经过验证的假说,经由一般化与演绎推理等等的方法,进行合乎逻辑的推论性总结。

接近科学的学说是科学的,反之则是违背科学的或者说伪科学;任何自然科学的产生,源自对自然现象观察。 人类借由观察实际存在的现象或逻辑推论,而得到某种学说。任何学说在未经社会实践或科学试验证明以前,只能属于假说。如果假说能借由大量可重现的观察与实验而验证,并为众多科学家认定,这项假说就可被称为科学理论。

wikipedia

定理,是经过受逻辑限制的证明为真的陈述(一般在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理)。

——梁启超 《近世文明初祖倍根笛卡儿之学说》:“凡一现象之定理,既一旦求而得之,因推之以徧,按其同类之现象,必无差谬,其有差谬者,非定理也。”

定律,是由不变的事实规律所归纳出的结论,是对客观事实的一种表达形式,是通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。

——定理属于理论。定律属于规律。理论和规律的区别,能明白吧?规律不考察其中涉及到的原理/机理/理论依据。——两个“定”字表达的是“一定条件下确定的”。

理论,是按照已有的实证知识、经验、事实、法则、认知以及经过验证的假说,经由一般化与演绎推理等等的方法,进行合乎逻辑的推论性总结。 ——不考察是否经过检验、是否确定为真,只考察是否合乎逻辑。跟定理的区别,明白吧,定理是经过检验(一定条件下)确定为真的。

概念,是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。

——一个东西“是什么”,一件事“是怎么回事”,这些看法/理解就是概念。


数学的对错无法用生活经验来判断,它是用定义来判定的

数学中将语义和问题符号化,进而统一化,方便问题的解决(把口语化的问题建模成数学表达)


一个式子是问题和答案的共同体


从2的右边趋向于2,x比2大,记成2+

数学的基础概念要记忆背诵

函数:定义域,对应法则,对应域(值域) 可以多对一,不能一对多

f 代表函数  f(x)代表函数在x点处对应的值

函数在一点的极限是否存在与函数在该点有无定义无关


要把知识和生活经验区别开来,知识是远离生活经验的

学科通过定义构建出一个话语环境、理论环境(类似于交通规则之类的约定),并以此为研究和定理法则的基础,学科中理论的正确与否要建立在定义的话语环境中(解题也是),所以定义不需要去追究为什么这样定义,只需要记忆住就行


极限

极限存在:左极限 右极限 都存在且相等

1、通过描绘函数的图形来得出极限

画图观察

2、不借助函数的具体图形来求极限(因为有些函数的具体图形很难描绘)

把极限问题体现在图形上的现象用数学表达,它的数学建模,即讨论

step1:

趋近=逼近=要多靠近有多靠近

一个极限有两种靠近:

自变量的靠近
函数值的靠近

函数值的靠近由自变量的靠近来完成

每一个自变量的靠近δ都对应一个函数值的靠近ε

step2:

加入要多靠近有多靠近

将图像语言转换为数学语言

ε>0,δ>0 such that

when x in 0<|x-c|<δ , |f(x)-L|<ε

此为极限x—>c, f(x)—>L的数学建模  

如果数学建模成立,则极限存在


函数极限

希腊字母的读法

1 Α α alpha /a:lf/ 阿尔法

2 Β β beta /bet/ 贝塔

3 Γ γ gamma /ga:m/ 伽马

4 Δ δ delta /delt/ 德尔塔

5 Ε ε epsilon /ep`silon/ 伊普西龙

6 Ζ ζ zeta /zat/ 截塔

7 Η η eta /eit/ 艾塔

8 Θ θ thet /θit/ 西塔

9 Ι ι iot /aiot/ 约塔

10 Κ κ /kappa/ kap 卡帕

11 ∧ λ /lambda/ lambd 兰布达

12 Μ μ mu /mju/ 缪

13 Ν ν nu /nju/ 纽

14 Ξ ξ xi /ksi/ 克西

15 Ο ο omicron /omik`ron/ 奥密克戎

16 ∏ π pi /pai/ 派

17 Ρ ρ rho /rou/ 柔

18 ∑ σ sigma /`sigma/ 西格马

19 Τ τ tau /tau/ 套

20 Υ υ upsilon /jup`silon/ 宇普西龙

21 Φ φ phi /fai/ 佛爱

22 Χ χ chi /phai/ 西

23 Ψ ψ psi /psai/ 普西

24 Ω ω omega /o`miga/ 欧米伽


数学
Web note ad 1