数据结构之图
1. 简介
图结构也是一种非线性数据结构。生活中有很多图结构的例子，比如通信网络、交通网络、人际关系网络等都可以归结为图结构。图结构的每个节点可以互相关联，比树结构更加复杂
下图就是一个简单的图结构：
无向图.png
2. 相关概念
1.有向图
2. 无向图
3. 顶点的度：连接顶点的边的数量称为该顶点的度。在有向图中又分为入度和出度。
4. 邻接顶点：指一条边的两个顶点。在有向图中分为入边邻接顶点和出边邻接顶点。
5. 无向完全图：每两个顶点之间就有一条边。
6. 有向完全图：每两个顶点之间存在方向相反的两条边。对于一个N个节点的有向完全图，边数为N(N-1)，是无向完全图的两倍。
7. 子图：类似子集合，子图的顶点和边都是原图的。
-
8. 路径：两个顶点之间的连线，可以有多条，每条长度可能不一样。路径又可以分为三种形式：
- 简单路径：一条路径上的顶点不重复出现；
- 环：路径的第一个顶点和最后一个顶点相同叫做环，有时也成回路；
- 简单回路：路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，其余顶点不重复的叫做简单回路。
-
9. 连通、连通图和连通分量：
- 如果两个顶点之间有路径，那么这两个顶点是连通的；
- 无向图中任意两个顶点都是连通的，称为连通图；
- 无向图中极大连通子图称为连通分量。
连通图的连通分量有且仅有一个，就是它本身。
-
10. 强连通图和强连通分量：
- 如果两个顶点之间有路径，那么这两个顶点是连通的，注意，因为有向，有时可能是Vi -> Vj是连通的，Vj -> Vi不是连通的；
- 如果有向图中任意两个顶点都是连通的，那么就是强连通图；
- 有向图的最大强连通子图称为该图的强连通分量。
强连通图的强连通分量有且仅有一个，就是它本身。
11. 权：在边上表示的数值，这个数值就是该边的权。无向图中加入权值称为无向带权图，有向图中加入权值称为有向带权图。权在生活中可以表示交通图中道路的长度，人际关系中代表亲密度等。
12. 网（network）：即边上带有权值的图的另一个名称，网与实际应用更为贴切。
3. 图的存储
在实际应用中，通常使用数组来单独保存顶点信息，然后采用二维数组保存顶点之间的关系。这种保存顶点之间关系的数组称为邻接矩阵。
char[] Vertex = new char[MaxNum]; //保存顶点信息
int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum]; //保存边
这张无向图的边就可以这样表示
Vertex[0] = 1;
Vertex[1] = 2;
Vertex[2] = 3;
Vertex[3] = 4;
Vertex[5] = 5;
无向图.png
边通过EdgeWeight二维数组表示，有边的话存1，没有的话存0。比如1和2之间的表可以表示为：
//数组下角标从0开始的
EdgeWeight[0][1] = 1;
EdgeWeight[1][0] = 1;
这个图的邻接矩阵：
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
因为是无向图，所以左下和右上是对称的，有向图就不是了。
4. 代码实例
接下来用一个代码实例来看下树的结构初始化，清空以及输出遍历操作：
package com.wangjun.datastructure;
public class GraphTest {
private final int MaxNum = 5; // 最大顶点数
public static void main(String[] args) {
GraphTest gt = new GraphTest();
GraphMatrix gm = gt.new GraphMatrix();
gt.createGraph(gm);
gt.outGraph(gm);
gt.deepTraGraph(gm);
}
// 定义邻接矩阵结构
class GraphMatrix {
char[] Vertex = new char[MaxNum]; // 保存顶点信息，数字或者字母
int GType; // 类型，0：无向图，1：有向图
int vertexNum; // 顶点的数量
int EdgeNum; // 边的数量
int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum]; // 保存边的权
int[] isTrav = new int[MaxNum]; // 遍历标志
}
// 创建邻接矩阵图
// 这里创建手动创建一个5节点的图，对应上面的图
public void createGraph(GraphMatrix gm) {
gm.Vertex[0] = '1';
gm.Vertex[1] = '2';
gm.Vertex[2] = '3';
gm.Vertex[3] = '4';
gm.Vertex[4] = '5';
gm.GType = 0;
gm.vertexNum = 5;
gm.EdgeNum = 6;
gm.EdgeWeight[0][1] = 1;
gm.EdgeWeight[1][0] = 1;
gm.EdgeWeight[0][2] = 1;
gm.EdgeWeight[2][0] = 1;
gm.EdgeWeight[0][4] = 1;
gm.EdgeWeight[4][0] = 1;
gm.EdgeWeight[2][4] = 1;
gm.EdgeWeight[4][2] = 1;
gm.EdgeWeight[1][3] = 1;
gm.EdgeWeight[3][1] = 1;
gm.EdgeWeight[3][4] = 1;
gm.EdgeWeight[4][3] = 1;
}
// 清空图
public void clearGraph(GraphMatrix gm) {
for (int i = 0; i < MaxNum; i++) {
for (int j = 0; i < MaxNum; j++) {
gm.EdgeWeight[i][j] = 0;
}
}
}
// 显示图，即显示邻接矩阵
public void outGraph(GraphMatrix gm) {
// 输出顶点信息
System.out.println("顶点：");
for (int i = 0; i < MaxNum; i++) {
System.out.print(gm.Vertex[i] + " ");
}
System.out.println();
// 输出边的信息
System.out.println("边：");
for (int i = 0; i < MaxNum; i++) {
for (int j = 0; j < MaxNum; j++) {
System.out.print(gm.EdgeWeight[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
/*
* 遍历图，即逐个访问图的顶点，使用isTrav数组标志该节点是否被遍历过
* 常用的遍历图方法：广度优先遍历法和深度优先遍历法 此函数以深度优先遍历法为例
* 深度遍历法类似于树的先序遍历，具体执行过程如下：
* 1）从isTrav数组中选择一个未被访问的顶点Vi，将其标记为1，表示已访问过
* 2）从Vi的一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍历
* 3）重复步骤2），直至图中所有和Vi有路径相通的顶点都被访问过
* 4）重复步骤1）至3）的操作，直至图中所有的顶点都被访问过
* 深度优先遍历法是一个递归过程
*/
public void deepTraGraph(GraphMatrix gm) {
// 清除顶点访问标志
for (int i = 0; i < gm.vertexNum; i++) {
gm.isTrav[i] = 0;
}
System.out.println("深度优先遍历节点：");
for (int i = 0; i < gm.vertexNum; i++) {
// 若该节点未遍历
if (gm.isTrav[i] == 0) {
deepTraOne(gm, i);// 调用函数遍历
}
}
}
//深度遍历的执行函数
public void deepTraOne(GraphMatrix gm, int n) {
// 从第n个节点开始，深度遍历图
gm.isTrav[n] = 1;
// 输出节点数据
System.out.println("node:" + gm.Vertex[n] + " ");
// 添加处理节点的操作
for (int i = 0; i < gm.vertexNum; i++) {
if (gm.EdgeWeight[n][i] != 0 && gm.isTrav[i] == 0) {
deepTraOne(gm, i);// 递归进行遍历
}
}
}
}
