汉诺塔问题的思考

有三根杆(编号A、B、C),在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘。
目标:把A杆上的金盘全部移到C杆上,并仍保持原有顺序叠好。
操作规则:每次只能移动一个盘子,并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下,小盘在上,操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。


1、物理世界中的解答


2、抽象为数学的问题

对于复杂的问题,我们需要简化的去想,比如上面物理模型,我们是先从2个盘开始的思考的,如果一开始就从64个盘开始思考,太过复杂,我们可能在思考的过程中出错。

就是说 n 个盘的问题,我们就需要把它想成 n-1 个盘的问题,最终将其想成 2 个盘,1 个盘的问题。

所以这个移动的问题,可以归纳为:

(1)以C盘为中介,从A杆将1至n-1号盘移至B杆;
(2)将A杆中剩下的第n号盘移至C杆;
(3)以A杆为中介;从B杆将1至n-1号盘移至C杆。

这样问题就解决了,但是实际操作中,第一步和第三步 会成为新的移动问题,但是我们观察,会发现第一步和第三步 的移动问题,是最开始移动问题的简化版本 (从移动 n 个盘 到移动 n-1 个盘子),但是解决方式是一样的。同样的 n-1 个盘子的问题同样可以简化 为 移动 n-2 个盘子的问题,这样一直简化下去,最后就是移动 2 个盘,1 个盘的问题,而移动 1 个 盘的问题是可以解决的,这样反推回去,就可以解决 移动 n 个盘子的问题。

就是说,我们知道怎么移动 1 个盘子,就可以知道怎么移动 2 个盘子的问题,然后 3个、4个 .... 直到 n 个

这种由繁化简,用简单的问题和已知的操作运算来解决复杂问题的方法,就是递归法

我们利用数学函数来解决这个问题,比如我们用 H(n) 来表示移动 n 个圆盘需要的步数,则:
H(1)=1;
H(n)=2*H(n-1)+1;(n>1)

第二个等式,是从上面的归纳来的,(1)和(3) 需要移动 H(n-1) 步,即新的移动问题,(2) 需要移动 1 步

来推导一下
H(n) = 2*(2*H(n-2)+1)+1
H(n) = 2²*H(n-2) + 2 + 1
...
H(n) = 2^(n-1)*H(n-(n-1)) + 2^(n-2) + ... + 2^1 + 1
H(n) = 2^(n-1)*H(1) + 2^(n-2) + ... + 2^1 + 1
H(n) = 2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^1 + 1

两边同时乘以2

2*H(n) = 2^(n) +2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^2 + 2^1

2*H(n) - H(n) = 2^(n) - 1

H(n) = 2^(n) - 1 ;(n>0)


3、编码模拟移动过程

num,表示需要移动的盘子个数;使用递归调用来模拟移动;递归到 n = 1 时停止

    private List<String> arrayⅠ;
    private List<String> arrayⅡ;
    private List<String> arrayⅢ;
    //移动的步数
    private double moveAmount = 0;

    private void startHanoi(int num) {
        moveAmount = 0;
        arrayⅠ = new ArrayList<>();
        arrayⅡ = new ArrayList<>();
        arrayⅢ = new ArrayList<>();
        for (int i = 1; i <= num; i++) {
            arrayⅠ.add(i + "");
        }
        Log.i("move", "arrayⅠ-" + toStringByArray(arrayⅠ));
        hanoi(num, 'Ⅰ', 'Ⅱ', 'Ⅲ');
    }

    /**
     * @param n           盘子的数目
     * @param origin      源座
     * @param assist      辅助座
     * @param destination 目的座
     */
    private void hanoi(int n, char origin, char assist, char destination) {
        if (n == 1) {
            move(origin, destination);
        } else {
            hanoi(n - 1, origin, destination, assist);
            move(origin, destination);
            hanoi(n - 1, assist, origin, destination);
        }
    }

    private void move(char origin, char destination) {
        moveAmount++;
        Log.i("move", origin + "--->" + destination);
        //移动的盘子编号
        String moveNum = null;
        switch (origin) {
            case 'Ⅰ':
                moveNum = arrayⅠ.get(0);
                arrayⅠ.remove(0);
                break;
            case 'Ⅱ':
                moveNum = arrayⅡ.get(0);
                arrayⅡ.remove(0);
                break;
            case 'Ⅲ':
                moveNum = arrayⅢ.get(0);
                arrayⅢ.remove(0);
                break;
            default:
                break;
        }
        switch (destination) {
            case 'Ⅰ':
                arrayⅠ.add(0, moveNum);
                break;
            case 'Ⅱ':
                arrayⅡ.add(0, moveNum);
                break;
            case 'Ⅲ':
                arrayⅢ.add(0, moveNum);
                break;
            default:
                break;
        }
        Log.i("move", "arrayⅠ-" + toStringByArray(arrayⅠ));
        Log.i("move", "arrayⅡ-" + toStringByArray(arrayⅡ));
        Log.i("move", "arrayⅢ-" + toStringByArray(arrayⅢ));
        Log.i("move", "移动" + moveAmount + "步");
        Log.i("move", "---------------------");
    }


    private String toStringByArray(@NonNull List<String> array) {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (String s : array) {
            sb.append(s);
        }
        return sb.toString();
    }
  • 盘数为3时的移动过程

开始:柱Ⅰ上是123,三个盘,数字越大表示盘越大,左到右相当于上到下


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