不动点(一)

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炒冷饭
2015.12.29 21:39* 字数 3856

闲来无事,看看《007》。作为贪杯之人,自然注意到了邦德对于伏特加马丁尼的偏爱,每次他都嘱咐调酒师“摇匀,不要搅”。我现在手边就有一瓶伏特加,也试着晃了晃,透过玻璃瓶子对着摇晃的酒面发呆。

这不是我第一次对晃动的液体表面发呆,小的时候是对着白开水,只不过现在换成了酒。那么到底我在观察什么呢?

我一直在想一个问题——随着我对酒瓶子的晃动,酒面上的每一个点是不是在某一瞬间都改变了位置?还是至少有一个点是不动的?

如果只是通过想象力来思考这个问题,似乎两种答案都能想象出“合理”的画面。但是如果设计一个计算模型来模拟这个现象,又会面临极大的复杂度以及模拟的点数不够的问题。看上去无解了。

按照心灵鸡汤的说法,任何问题的解决之初都是一个无解的问题,blalalalalala...通过坚持不懈的努力,终究会获得答案。然而心灵鸡汤只之后事后吹牛,如何推进问题的前进还是得依赖缜密的思考。

之前的文章里我多次强调合理抽象的在解决问题中的巨大作用。而抽象过程依赖于对问题产生的思考,换而言之就是去还原获得这个问题的思考过程以期获得灵感——关键在于为什么会有这个问题?自己是在什么情况下想到这个问题的?

用还原问题的方法去思考的好处在于,哪怕是最终无法求解,也能获得最重要的能力——即提出问题的能力。正如爱因斯坦有云:提出问题的能力比解决问题更为重要。

1.1 问题来自杯子


为什么同样是看似深奥有趣的问题会有好的提问和坏的提问的区别呢?让我们借这次机会好好分析分析。

杯子也好,瓶子也罢,其平面都是一个圆,为了简化问题,我们姑且先只考虑圆盘的情况。这个简化问题的过程背后的意义我必须着重再解释一下,我们得搞清楚简化问题的基本思路。

一个好的问题是能充分引导人思考的,好的问题和好的设计一样是能减少“复杂度”的。这里简化为仅考虑圆盘的情况,并不是简单的对复杂问题的妥协,其背后的原因有两点,一是手边可以很容易得到一个充满液体的圆盘,这帮助我们具化了想象,减轻了大脑在想象方面的负担;另外一方面减轻了我们对于能否解决问题的心理负担,毕竟情况被简化了。这一点实际上非常的重要,因为巨大的困难总会趋势人们逃避。

我们继续回到我们的原始思路,看上去我们的思路有两条,一是依赖大脑的想象,二是依赖计算模型模拟。然而这两个办法实际上是一致的,即物理的实在的。

由于我们的肉眼是真真切切能看到水面的运动的,如果受过一点点科学教育都会不自觉的联想到水分子的运动,那么接下来的工作便是模拟所有或者大多数分子的运动轨迹?顺着这个路子,很快我们就来到了悬崖走不过去了。

这也是通常我们失去一个好问题的最大原因,即很快发现问题不可被解决,因为问题的复杂度(或者说噪声)太高。

那么为什么简单的问题会引发如此巨大的复杂度呢?所有的问题都可以有这么大的复杂度吗?

1.2 复杂的 1 + 1


在《数数数到超越数》这一篇中,我们已经看到了加法仅仅在逻辑上就有不小的复杂度。但实际生活里,1+1的问题还要复杂的多。

I 加上 I 得到 II,壹加上壹得到贰,one plus one is two...

没错,简单的1+1还有极其复杂的文化和历史因素在影响着,确认全球统一的数字标示方式和运算符花了人类几百年的时间。我为什么要说这个呢?我的目的是给大家一个实例,一个关于实现问题的复杂度的实例。

你要全面了解一棵草和了解整个宇宙的难度是不相上下的。这是因为一旦引入了无限复杂的现实,很多问题就到了无法进一步剖析的地步。就像刚才我们在思考液面的无限点的运动问题一样,当我们从物理学(现实的)角度出发去思考每一个点的运动,随着想象力的进一步发散(人脑每分钟会思考几百万个问题),我们可能会联想到液体的蒸发,水面的上下激荡,液面的张力还有引力等诸多因素,而且这些因素几乎都是互相影响的,牵一发而动全一身。当我们从想象中回过神来,唯一的情绪应该就是沮丧了吧。

打起一点精神,去减少问题的一个维度——把三维将为二维,因为在三维层面上比如我们倒置酒瓶原本的所有点肯定都变动了位置。与此同时蒸发问题,张力问题等因素也就不做考虑了。到这个时候,似乎问题清晰了许多,但现在最重要的问题是我们是不是应该站在分子动理论的角度上思考这个问题?液体流动又如何模拟?在之前朴素问题中的点到底指的是什么?是分子还是抽象过后的集合?是什么形状的呢?点与点之间的空隙怎么处理?

草率的简化似乎带来了更大的痛苦,一方面是我们有时无法确定被简化的因素是不是真的可以暂时忽略,另外一方面由于简化与人类不可遏制的好奇心的冲突导致我们在求知的过程中充满着不安,这种不安会干扰我们的判断力和自信心。

而且在看似合理的一些简化之后我们有时能够得到了非常美妙的结果,这容易麻痹我们的神经导致我们盲目崇拜这个结果而阻碍我们进一步的思索。在这一点上,最著名的头脑游戏莫过于相对论和经典力学体系的冲突。

1.3 由于提问带来的陷阱


既然我们凭借有限的水平很难从物理(现实)的层面去简化问题,那么不妨我们干脆不把它当做一个现实问题。是的,尽管它来源于对现实的思考。还记得我们是如何得到加法的吗?

值得注意的是这并不是对于问题的退化,毕竟我们到现在还没有能力提出一个像样的问题。

现在我们来一步步去掉现实给我们带来的思维枷锁,首先是去掉杯子这个载体得到一个有边界的圆盘;接下来去除液体的束缚,我们得到充斥圆盘的点;把摇晃杯子的动作限制在平面的变换中。这样我们得到了一个近乎全新的问题——由物理现实转换到了抽象数学。


从上面的思路看来,我们可以发现在提出一个问题的过程中,有两种思路可供我们选择,第一种是关注现实各项复杂因素的综合考量;另外一种是抽象化的模型思路。由于综合考量不可避免的带来混沌。为了得到一个清晰的架构,较多被采取的办法是对这些领域分别建立模型,模型的危险性在于很多时候人类将模型和实在相混同,理想类型(模型)只是为了接近实在的工具,有意义的模型应该导致与实在的偏离。

提一个好的问题实际上和发掘事物规律已经没有本质区别了,作为规律,其中“包含”的可预测性又与现实世界的多可能性相矛盾。可预测性和多可能性的矛盾出在抽象理论带来的逻辑先验与具体的混同上。在抽象层面上,预测是逻辑演绎的一部分,在结构上是合理的。在具体的层面上,预测只是由于对事实的具体描述而自然呈现出的潜能,但我们是不能通过潜能向前预知未来的。

有时候对于抽象因素的使用范围的不小心误用导致了我们提出的问题的模糊性和自我怀疑,比如现在的水面的点的位移问题,我们一方面纠结于物理现象,另外一方面在对物理“降维”,因此在得到一个先验的结果的同时却期望其能预言现实未来。如果我们注意到了这个问题,就会导致在问题很好的被提出来之前自己率先陷入痛苦;如果我们没有注意到这个事实,我们则会提出一个范畴模糊的问题。民科则经常犯这个错误。

所谓的民科有时能说出一些看起来很有道理的话,但是为什么不能得到认可呢?同样是“民科”的爱因斯坦为什么可以提出被大家广泛承认的学说呢?主要原因大家都清楚,就是民科的知识体系不够完善,不能提出真正深刻的问题,而且总是希望提出适用范围特别宽广的命题,这大大超出了他们的能力范围。

但我认为这并不是主要的矛盾,能促进自己思考的问题在对于自身来讲都是一个好问题,民科却恰恰幻想能够一举成名(搞出个大新闻),在这一点上做学问的出发点就和那些名家大师有着根本不同了,非常的不纯粹。另外我们经常说民科不遵循学术规范,这并不是什么迂腐的要求,也不是老祖宗留下的规矩。再出色的问题也是有适用范围和条件的,不重视这一点自然是提不出一个值得被大家重视的问题 : )

好的,让我们重新回到不动点的问题上。现在,它已经被我们转化为了一个纯粹的数学问题,那么接下来让我们从数学层面来继续剖析。

2.1 所有点都在动


小心: 数学部分的过程将短的惊人

假设至少有一个点可能不动这意味着我们要考察每个点的坐标,这是不可能的任务,因为平面上有无数个点。倘若,我们假设所有点都在变动,这似乎依然是个不可能的任务,因为通过对比坐标的方法来看,我们依然要对无数个点进行记录。

那么我们能不能只记录尽量少的点甚至一个点呢?还有这样的好事?

如果我们直接想象一个极小的圆,看上去它只有一个点那么大,但它依然还是由无数个点构成,这对于我们解决问题没有丝毫的帮助。但是,当我们将一个圆想象成由无数个连续变换的不同大小的圆套嵌而成,我们最终就能得到一个极小的圆。这看似最终结果一致,但后面的思路能够引导我们取思考圆的边界,有趣的是,这是解决问题的关键。

当我们有了无数个套嵌的圆之后,我们便获得了一圈圈压缩它的能力,问题将往小的,极端的,苛刻的方向发展。我这么说,可能很多人还是不明白;那么我换种说法,现在我们将问题从面压缩到了线,并且我们即将来到一个近似于点的世界中,听上去是不是有点小激动呢?

当圆周上的点在变动位置时,其方向可以指向圆内(也就是我们假设所有的点都变动位置了),连续地缩小下去,我们会发现当这个圆足够小,圆周上的点都将近似的指向圆心。当所有的点都近似地指向圆心和指向圆内会导致什么矛盾呢?

我这里给个提示:在圆上在任意一点,指出其向圆内的变换向量,并观察其旋转一周的角度变化情况,然后和极小圆指向圆心的情况进行对比。之所以观察其旋转一周的角度变化情况是为了获得一个对比的具体的数字指标。

小心:数学部分结束了。对了,我们可别用这个结论直接指导我们对于现实世界中水杯中水分子的“不动点”研究,这可是两个范畴的问题。

2.2 下一个问题


依然和其他篇文章一样,重要的根本不是其中的数学过程,而是抽象能力。在本篇中,特别强调了提问题这种抽象能力。

我已经迫不及待地思考下一个问题了,你呢?

算术?