图和图移位算子
- 图被定义为三元组集合：
：
节点 
：
表示 
个不同 label 的集合；
边 
：有序对 %5Cin%20E)
表示 
可以影响 
；
权重 
：
是 )
上的一个数字，表示 影响 的程度。
在无向图中， 等价于 )
，且 
，在有向图中 是从 指向 的箭头，权重 
不一定等于 
。
对于无权图若边之间存在连接，通常认为 的权重是单位 “1”，即 
，而带权图上的权重可以根据需要定义为任意值。
邻接矩阵：![A = [w_{ij}]_{n\times n}](https://math.jianshu.com/math?formula=A%20%3D%20%5Bw_%7Bij%7D%5D_%7Bn%5Ctimes%20n%7D)
, for all ，对于无向图，
；
节点的度：节点 的度是其所有邻接点的权重之和，即 
；
度矩阵：
![D=diag(A1)=\left[ \begin{array}{ccc} d_1 & \ldots & \ldots&\ldots \\ \vdots & d_2 & \ldots&0 \\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots \\ \vdots & 0 & \ldots &d_n \end{array} \right]](https://math.jianshu.com/math?formula=D%3Ddiag(A1)%3D%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20d_1%20%26%20%5Cldots%20%26%20%5Cldots%26%5Cldots%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%26%20d_2%20%26%20%5Cldots%260%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%26%5Cvdots%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%26%200%20%26%20%5Cldots%20%26d_n%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D)
Laplace 矩阵定义为：-A)
；
归一化的邻接矩阵：
，即 _%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7Bw_%7Bij%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bd_id_j%7D%7D)
；
归一化的 Laplace 矩阵：D%5E%7B-1%2F2%7D%3DI-%5Coverline%7BA%7D)
。
归一化的原因：1. Express weights relative to the nodes’ degrees ; 2. 算法和计算上的考量。
- 图移位算子(Graph Shift Operators)
图移位算子 
可以是图的任何一种矩阵表示，如 
、 
、
、 
等等。
图上的信号
图信号是我们在图上进行信号处理时的对象；
考虑一个有 个节点的图 
和其上定义的图移位算子 ，那么一个图信号就是一个**向量 ![x=[x_1,\cdots,x_n]^T](https://math.jianshu.com/math?formula=x%3D%5Bx_1%2C%5Ccdots%2Cx_n%5D%5ET)
**，其中分量 
是和图节点 有关的量。为了强调图是信号固有的，可以把信号写成对的形式 )
；
图移位算子 与信号 
的乘法表示信号在图上的扩散，扩散后信号 
，分量 
，权重越大，扩散输出贡献越大；
信号扩散序列 %7D%3DSx%5E%7B(k)%7D)
，其中 %7D%3Dx%3DS%5E0x%2C%5Cquad%20x%5E%7B(1)%7D%3DSx%5E%7B(0)%7D%3DS%5E1x%2C%24%24x%5E%7B(k)%7D%3DSx%5E%7B(k-1)%7D%3DS%5Ekx)
，
[图片上传失败...(image-fd789-1618849866619)]
信号的扩散即信号在图上的传播，扩散一次该信息将被传播到其单跳邻居，
次则传播到 跳邻居。
图卷积滤波器
图卷积滤波器是图信号线性处理的工具。给定图 和移位算子 ，以及一系列系数 
，则图上的卷积滤波器是 的多项式序列，它由 
确定：
%20%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20h_kS%5Ek)
滤波器作用到图信号 上：
x%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20h_kS%5Ekx)
称 
是滤波器 
与信号 的图卷积。
实际中 不会取到无穷，图卷积的输出 
，图卷积聚集了从局部到全局的信息，是扩散序列元素的线性组合。
[图片上传失败...(image-74e34-1618849866619)]
时序卷积是图卷积的特例
时序卷积输出：
时序信号可表示为线图上的图信号 ：
[图片上传失败...(image-71f446-1618849866619)]
其中 是线图的邻接矩阵：
image-20210416132337178.png
于是时间序列能够表示为作用在初始信号 上的 的多项式：
卷积运算是输入信号移位的线性组合：
image-20210416132438388.png
如果设 为任意图移位算子，则可以恢复到图卷积，因此图卷积也可以说是时序卷积的推广：
其中 
的含义是信号 在图上经过 跳传播后的信号。
图傅里叶变换
图形傅里叶变换是分析图信息处理的工具。
这里分析的图是对称图(通常为无向图)，即 
。设 
为 的 个特征值，
为对应的 个单位正交特征向量组，
，令 ![V=[v_1,v_2,\cdots,v_n]](https://math.jianshu.com/math?formula=V%3D%5Bv_1%2Cv_2%2C%5Ccdots%2Cv_n%5D)
，![\Lambda=diag([\lambda_1,\cdots,\lambda_n])](https://math.jianshu.com/math?formula=%5CLambda%3Ddiag(%5B%5Clambda_1%2C%5Ccdots%2C%5Clambda_n%5D))
，于是：
图傅里叶变换 ：给定图移位算子 
，图上信号 的傅里叶变换：
图上信号 的傅里叶变换实际上就是 在 特征向量空间的投影运算，称 
为信号 的频域表示。
图傅里叶逆变换：给定图移位算子 ，频域信号 的逆傅里叶变换：
显然 %3DIx%3Dx)
。
图滤波器的频率响应(定理)：图卷积滤波器 
，图信号 的滤波表示 
，则原信号 的傅里叶变换 和卷积输出信号 
的傅里叶变换 
之间的关系是：
证明： ，则 
，因此滤波输出：
两边用 
作用：
在图频域，滤波器是对角矩阵 
在系数 下的多项式，这样一来原时域信号 上的卷积运算在傅里叶变换下转换为了频域中的点积运算：
%5Ctilde%7Bx%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Baligned%7D)
其中：
%5Ctilde%7Bx%7D_i)
将 %3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20h_k%5Clambda%5Ek)
定义为图滤波器的频域响应，可以看到频域响应多项式的系数与图滤波器系数相同。需要特别指出的是，频域响应与图是无关的(频域响应不依赖于特定的图)，因此在图滤波器中，图的作用仅仅是确定实例化响应的特征值，当给定一个图，响应在 )
上被实例化，而 只是个单变量解析函数，它由滤波系数决定。
