开卷有益:罗斯《公司理财》CAPM模型和量化投资(2018-12-17)

CAPM模型有许多假设条件,这一点是必须仔细思考的。实际上任何模型都是有假设条件的。比如DCF模型的假设条件就很重要,如果脱离了这些假设条件,你的估值结果可能是毫无意义的。CAPM模型实际上就是用线性回归法来拟合座标系里单个风险资产的收益率和市场组合收益率之间的线性关系。问题是:为什么这些离散的点就是线性关系而不是其他关系?我以前曾用线性回归法或最小二乘法拟合温(湿)度和电压之间的线性关系。温(湿)度变化引起传感器电压的变化,A/D器件将电压(流)信号转换成数字值,CPU高速采样该数字值,并且将这些采样值根据拟合好的线性公式换算成对应的温(湿)度值在LED面板上显示出来。线性公式(Y=AX+B)的参数A和B应该事先拟合好,并且根据精度要求作一些相应 的调整。很明显,在温(湿)度的临界区域(高温或低温区域)未必呈线性关系,误差会非常大。温湿度值和传感器电压值在某一范围内呈线性关系,这是物理属性决定的客观规律,但传感材料仍然有适应的温湿度区间,超过这个区间就不是线性关系了。

威廉·夏普、约翰·林特纳(John Lintner)和杰克·特雷诺(Jack Treynor)等金融经济学家在投资组合理论基础之上创建了资本资产定价模型(capital asset pricing model,CAPM)。CAPM是在上世纪六十年代发现的,在此之前,股票和债券市场已经存在了几百年,CAPM的发现完全改变了专业机构对于资产回报和风险的理解。如果今天你们还不知道CAPM,那么就和十八世纪,十九世纪的投资人用到的分析方法没有区别。CAPM就是热门名词“量化投资”的基础。

根据CAPM假设,任何选择风险资产的投资者都将会持有市场组合,因此,单一资产的系统风险可根据其收益率与市场组合收益率的共同变化情况来计量。在市场均衡条件下,单个风险性金融资产与市场组合在期望收益率与风险上存在以下关系:

式中,βi表示风险性金融资产(证券)i的β系数,ri表示风险性金融资产(证券)i的期望收益率, rM表示市场组合M的期望收益率,rf表示无风险资产的收益率。

我们首先来学习贝塔和阿尔法的计算。大家可以选择任意一只股票,然后收集这个股票在过去几年的的回报数据,如果有每一天价格变动后的回报数据,那么一两年的数据就可以。如果是每个月的回报数据,那最好有五年的数据,这样可以保证统计上的可靠性。

然后收集同样频率的股票大盘指数的回报数据。把这两个数据系列减去同期银行利率,然后把得到的两项超额回报率数据,分别输入到微软的Excel软件里面。,接下来大家可以用Excel的画图工具,把这两项数据画在一个二维平面,分别对应纵坐标和横坐标,就会得到一个散点图,就好比夜晚天空满天的星星。最后,通过Excel自带的“线性回归”工具,就会得到一条穿过这些散点图的直线,这条直线会满足一些特殊的条件。

这条直线的斜率,也就是倾斜的程度,就是这个股票的贝塔值。如果正好是45度倾斜,贝塔值就等于1,直线的斜率大于或者小于45度,贝塔值就分别大于或者小于1。这条直线和纵坐标的交点,就是阿尔法。大家可以用这个办法对每一个个股都进行线性回归,就会得到他们各自的贝塔和阿尔法。

CAPM讲任何一种股票的平均超额回报率等于这个股票的贝塔值乘以股票大盘指数的平均超额回报率。这个时候,回过头去看我们通过线性回归获得的每一个股票的阿尔法,大家就会非常惊讶的发现,大部分股票的阿尔法有的正,有的负,但是都和0的距离非常近。用统计学的术语来描述,这些股票的阿尔法和0没有显著的差别。

CAPM为什么堪称资本市场的圣杯呢?要知道,CAPM是建立在一系列的理论假设之上的一个数学结果,这些假设条件最核心的一条是讲股民都具备相同的信息,都超级聪明,追求每一单位风险下可以换取到的最高回报率。显然,这些条件在现实世界中完全不满足。

现实中,千千万万个股民根据不同的理由,很多是完全错误的理由,买卖股票产生出价格,这些价格的变化看上去也是杂乱无章,没有规律可循的。但神奇的是,股民买卖产生的的股票价格,对应的阿尔法,居然和CAPM理论的预测基本上一致。这就好比大家生活中观察到的物理现象,看上去杂乱无章,却基本上都可以用牛顿力学来描述。

现实中,千千万万个股民根据不同的理由,很多是完全错误的理由,买卖股票产生出价格,这些价格的变化看上去也是杂乱无章,没有规律可循的。但神奇的是,股民买卖产生的的股票价格,对应的阿尔法,居然和CAPM理论的预测基本上一致。这就好比大家生活中观察到的物理现象,看上去杂乱无章,却基本上都可以用牛顿力学来描述。

贝塔和波动率的区别:我们用波动率来衡量股票的风险,但事实上,大家很容易找到平均回报率差不多的股票,会发现他们有的波动率很高,有的波动率很低。相反,平均回报率差不多的股票的贝塔也是差不多的。因此,股票的贝塔要比波动率更精确地描述股票的风险。

为什么会这样呢?原来,每一个股票的波动率可以被拆分成两个部分,一个部分和贝塔相关,一个部分和贝塔无关。和贝塔相关的部分会影响股票的价格和回报,和贝塔无关的部分无法影响股票的价格和回报。因此,股票的波动率越大,平均回报未必更高,但股票的贝塔值越大,平均回报通常越高,这和CAPM理论预测的一样。

CAPM理论有个不足之处在于它描述的是平均回报率,而不是年化回报率。

要想成为量化投资高手,必须精通金融,统计,数学,和计算机技术。

资本资产定价模型(CAPM)有5个假设条件:一是投资者厌恶风险假设;二是假设投资者可以按无风险利率借入或贷出资金;三是共同期望假设(注:在信息对称条件下,投资者对期望收益、标准差和相关系数估计是一致的,也就是说,人人都会持有市场组合投资。);四是假设应该考虑单个金融资产对投资组合风险的贡献,因为当某金融资产(证券)和其他金融资产(证券)构成组合时,该证券收益的不确定性部分地被分散;五是假设用贝塔值描述单个金融资产对投资组合价值变化的敏感度。

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