99%的公司竟找数学家计算应该雇佣多少名员工,这究竟是为什么?

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感谢PRESH TALWALKAR博士的分享,故事君对其文章进行了编译,当然也适当进行了文学加工。

1

这是个虚构的事件。如有雷同,纯属巧合……

假设有这样一个国家,法律规定:凡是员工在生日当天,公司必须给员工放假!公司必须一视同仁,确保每个员工在生日当天放假,没有任何理由!

当然,法律还规定:除了生日当天,员工其它的日子必须天天上班工作,也没有任何理由。这是很崩溃的事情吧……

这里,假设一年里是365天。

很明显的是,公司雇佣的员工越多,那么生日天必然越多,如果公司雇佣较少的人,在生产过程中可能会人手不足,造成更大的损失。

虽然每个员工一年中必须工作 364 天,可是,资本家们还不满足,他们想尽可能地让员工同时工作的总天数最长。作为员工,其实在意的并不是这些,因为每年里必然有一天是属于他们的假日。

2

于是资本家们找到了数学界x,想让x帮助他们计算出雇佣多少人才能保证一年中得到所有员工的最大可能的同时工作总天数。

x先生不白给啊,“刷刷刷”开始计算起来……

假设该公司有员工 n 个人,那么每个人的生日都是独立事件,一个人在某一天出生的概率均是1/365;

那么这个人在某一天工作的概率是364/365,这对于所有的 n 个员工都是适用的。

既然每个人生日都是随机的且独立的,那么第 i 天不是生日天的概率是:

(364/365)(364/365)…(364/365) = (364/365)^n

这个可能性在一年中的每一天都是一样的。所以,我们将365天的概率求和,

365×(364/365)^n

将该数乘以总人数n,得到一年中非生日的总天数:

n×365×(364/365)^n

我们假设这是一个连续的函数,

f(n)=n×365×(364/365)^n,

我们求出上述函数的最大值时刻即可,就是当n为何值时,f(n)取最大值。

函数两边取自然对数,得:

ln(f(n))=ln(n×365×(364/365)^n)

=ln(n)+ln(365)+ln((364/365)^n)

=ln(n)+ln(365)+n·ln(364/365)

接着取ln(f(n))的导数为0,可得:

[ln(f(n))]'=0,

1/n+ln(364/365)=0,

解得:n=-1/ln(364/365),

n≈364.5。

对于n>0,我们可以得到在临界点之前,即n<364.5时,导数值为正,当n在临界点之后,到数值为负,说明这个临界点为最大值时n的取值。

当雇佣员工人数达到364人及365人时,我们发现其函数值相等。

f(364)

= 364(365)(364/365)^364

= 364(365)(365/365)(364/365)^364

= 365(365)(364/365)(364/365)^364

= 365(365)(364/365)^365

= f(365)

这样,这个公司需要雇佣364人或365人时,可以得到一个期望的工作天数大约是:

f(365)=365×365×(364/365)^365≈48943.5 天

(小伙伴们不要觉得这个数大于了365天,注意:如果6月1日共360人工作,那么就记同时工作天数360天……)

竟然算出来了?!

3

到这里,我们看不出丝毫的有趣性……

我们将这个数值与总天数(365^2)相比,

即:f(365)/365^2,

f(365)/365^2

=365×365×(364/365)^365/(365^2)

=(364/365)^365

=(1-1/365)^365

≈0.367

≈1/e.

e——欧拉常数,约等于2.71828……

e真是无处不在,在数学界,它是个神的存在,和π一样!

虽然数学家计算出来了,但他只是好奇数学问题,所以他回了资本家三个字“滚犊子!”

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END

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