矩阵理论

行列式的本质是什么?

矩阵乘法的本质是什么?

  • 一种运动
  • 运动的速度:特征值
  • 运动的方向:特征向量
  • 秩:图像经过矩阵变换之后的空间维度


\vec{v}\vec{w}全部线性组合构成的向量集合称为“张成的空间” (span)

线性无关:对于a和b取所有值都有

\vec{u} \neq a\vec{v}+b\vec{w}

基的严格定义:向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集

线性变换是操纵空间的一种手段,它保持网格线平行且等距分布,并且保持原点不动。这种变换可以用把变换后的基做为列向量所构成的矩阵来表示。


矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量
\binom{x}{y}
的一种途径。

将矩阵相乘看作是对空间进行复合线性变换,即两个变换相继作用 。


秩代表变换后空间的维数

矩阵的列张成的空间就是列空间,秩是列空间的维数

列空间让我们清楚什么时候解存在,零空间有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的


变换后落在原点的向量的集合被称为矩阵的“零空间”或“核”



点积: 投影



点积的投影可以看成一种线性变换


叉积:

  1. 根据\vec{v}\vec{w}定义一个三维到一维的线性变换

  2. 找到它的对偶向量(这个变换和与对偶点乘等价)


  3. 计算方法角度


  4. 从几何角度,可以推断这个向量必然与\vec{v}\vec{w}垂直,并且其长度与这两个向量张成的平行四边形的面积相同。

  5. 这两种方法给出了同一个变换的对偶向量,因此这两个向量必然相同


基坐标的转换





M代表我所见变换,外侧两个矩阵代表着转移作用,也就是视角上的转换。矩阵乘积仍然代表着同一个变换,只不过是从其他人的角度来看的。


特征值与特征向量



对角矩阵的解读:所有基向量都是特征向量,矩阵的对角元是它们所属的特征值



对角矩阵更容易进行一些事情,如自己与自己相乘。

之所以把矩阵变换为对角矩阵,是因为在该矩阵的特征基上,只进行尺度变换,可以减少运算量。


行列式告诉你的是一个变换对面积的缩放比例,特征向量则是在变换中留在它所张成的空间中的向量。

线性变换:

  • 满足齐次性和可加性。(抽象)

  • 操纵空间的一种手段,它保持网格线平行且等距分布,并且保持原点不动。(具体)


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