KMP算法学习

要解决什么问题

要解决的问题就是在字符串(也叫主串)中的模式(pattern)定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字(接下来称它为P),如果它在一个主串(接下来称为T)中出现,就返回它的具体位置,否则返回-1(常用手段)。

约定
数组下标从0开始

为什么会有KMP算法

因为暴力模式字符串匹配性能太差了。那么先看一下暴力模式是什么样的吧。

暴力模式

以如下为例


image.png

从左到右一个个匹配,如果这个过程中有某个字符不匹配,就跳回去,将模式串向右移动一位
假如初始化的时候为下面的图


image.png

之后我们只需要比较i指针指向的字符和j指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动,如果不一致,如下图:


image.png

A和E不相等,那就把i指针移回第1位(假设下标从0开始),j移动到模式串的第0位,然后又重新开始这个步骤:


image.png

/**

 * 暴力破解法

 * @param ts 主串

 * @param ps 模式串

 * @return 如果找到,返回在主串中第一个字符出现的下标,否则为-1

 */

public static int bf(String ts, String ps) {

    char[] t = ts.toCharArray();

    char[] p = ps.toCharArray();

    int i = 0; // 主串的位置

    int j = 0; // 模式串的位置

    while (i < t.length && j < p.length) {

       if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同,就比较下一个

           i++;

           j++;

       } else {

           i = i - j + 1; // 一旦不匹配,i后退

           j = 0; // j归0

       }

    }

    if (j == p.length) {

       return i - j;

    } else {

       return -1;

    }

}

上面的这种情况还是比较理想的情况,我们最多也就多比较了三次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”,比较到最后一个才知道不匹配,然后i回溯,这个的效率是显然是最低的。

KMP上场

继续回到上面的例子。如果是人为来寻找的话,肯定不会再把i移动回第1位,因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了。移动过去肯定也是不匹配的!有一个想法,i可以不动,我们只需要移动j即可,如下图:


image.png

KMP的思想就是“利用已经部分匹配这个有效信息,保持i指针不回溯,通过修改j指针,让模式串尽量大的移动到有效的位置。”

所以,整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时,我们应该知道j指针要移动到哪?接下来就来寻找规律。

接下来我们自己来发现j的移动规律:


image.png

如图:C和D不匹配了,我们要把j移动到哪?显然是第1位。为什么?因为前面有一个A相同啊:


image.png

另外一个例子也是同样的情况


image.png

可以把j指针移动到第2位,因为前面有两个字母是一样的:


image.png

至此我们可以大概看出一点端倪,当匹配失败时,j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质:最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1],这里要找到最大的k

通过下面的图更好理解


image.png

P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]的时候,为啥就可以直接将j移动到位置k了呢?下面给出理论证明:

当T[i] != P[j]时
有 T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]
又因为:P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
必然有:P[0 ~ k-1] == T[i-k ~ i-1]

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

接下来就是重点了,怎么求这个(这些)k呢?因为在P的每一个位置都可能发生不匹配,也就是说我们要计算每一个位置j对应的k,所以用一个数组next来保存,next[j] = k,表示当T[i] != P[j]时,j指针的下一个位置。

先给出通用代码

public static int[] getNext(String ps) {

    char[] p = ps.toCharArray();

    int[] next = new int[p.length];

    next[0] = -1;

    int j = 0;

    int k = -1;

    while (j < p.length - 1) {

       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {

           next[++j] = ++k;

       } else {

           k = next[k];

       }

    }

    return next;

}

推导思路

现在要始终记住一点,next[j]的值(也就是k)表示,当P[j] != T[i]时,j指针的下一步移动位置

【1】先来看第一个:当j为0时,如果这时候不匹配,怎么办?


image.png

【2】如果是当j为1的时候呢?


image.png

显然,j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~
【3】寻找一般规律

先看下面的图:


image.png

image.png

请仔细对比这两个图。
我们发现一个规律:

当P[k] == P[j]时,
有next[j+1] == next[j] + 1

证明如下:

因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]
现在又有:P[k] == P[j],
所以有:P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j],即:P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]
因为我们定义了:P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1],对应了next[j]==k
所以P[0 ~ k] == P[j-k ~ j],对应了next[j+1]==k+1,又因为k==next[j],
所以有:next[j+1]=next[j]+1

上面是P[k] == P[j]的情形,如果P[k] != P[j]呢?比如下图所示:


image.png

如果你从代码上看应该是这一句:k = next[k];为什么是这样子?
因为P[k] != P[j],所以我们试图从P[0~k-1]里面找一个最长前缀 P[0~r] == P[j-r~ j],为了达到这个目的,我们可以分成两步操作:先从P[0~k-1] 里面找一个最长前缀P[0~r-1],使它与最长后缀的p[j-r ~ j-1]部分相等,然后再判断p[r]是否和p[j]相等,如果p[r]==p[j],则有next[j+1]=r+1,否则,k继续回溯。现在来看这个r怎么算?
通过下面这个图,一下子就明白了


image.png

通过上图可以看出:r==next[k],因为我们使用k代表回溯的位置,所以有k=next[k]

至此 可以给出KMP的完整算法了

public static int KMP(String ts, String ps) {

    char[] t = ts.toCharArray();

    char[] p = ps.toCharArray();

    int i = 0; // 主串的位置

    int j = 0; // 模式串的位置

    int[] next = getNext(ps);

    while (i < t.length && j < p.length) {

       if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时,要移动的是i,当然j也要归0

           i++;

           j++;

       } else {

           // i不需要回溯了

           // i = i - j + 1;

           j = next[j]; // j回到指定位置

       }

    }

    if (j == p.length) {

       return i - j;

    } else {

       return -1;

    }

}

参考文章

https://www.cnblogs.com/yjiyjige/p/3263858.html