关于Max不等式的证明

1.证明:\max\{a_i+b_i;i=1,2,\dotsc,n\}\leqslant \max\{a_i\}+\max\{b_i\}

证明:不失一般性,假设a_1+b_1\leqslant a_2+b_2\leqslant\dotsc\leqslant a_n+b_n,于是我们有\max\{a_i+b_i\}=a_n+b_n根据最大值性质,显然有\max\{a_i\}\geqslant a_n,\max\{b_i\}\geqslant b_n于是就有\max\{a_i+b_i\}\leqslant \max\{a_i\}+\max\{b_i\}

2.证明:若\alpha\geqslant 0,则\max\{\alpha x_i;i=1,2,\dotsc,n\}=\alpha\max\{x_i\};若\alpha<0,则\max\{\alpha x_i;i=1,2,\dotsc,n\}=\alpha\min\{x_i\}

证明:不失一般性,假设x_1\leqslant x_2\leqslant\dotsc\leqslant x_n,从而\max\{x_i\}=x_n\min\{x_i\}=x_1;又因为\alpha\geqslant0,于是\alpha x_1\leqslant \alpha x_2\leqslant\dotsc\leqslant \alpha x_n,得到\max\{\alpha x_i\}=\alpha x_n,结论成立。

\alpha<0,则\alpha x_1\geqslant \alpha x_2\geqslant\dotsc\geqslant \alpha x_n,于是\min\{\alpha x_i\}=\alpha x_1,结论也成立。

3.推论:若\alpha,\beta\geqslant0,则\max\{\alpha x_i+\beta y_i;i=1,2,\dotsc,n\}\leqslant \alpha\max\{x_i\}+\beta\max\{y_i\}

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